真的，學了組合數學你會克服公式恐懼症0.0深有體會……設a
1,a2
,…,a
n 為有限集合，用|a
i|表示集合ai
中的元素個數那麼有這樣的結論： |a
1∪a2
∪…∪a
n|=∑
i=1n
|ai|
−∑1≤
in|ai
∩aj|
+∑1≤
i<
jn|ai
∩aj∩
ak|−
…+(−
1)n−
1|a1
∩a2∩
…∩an
|.(總的概括就是奇數個集合的並集累加和 減去 偶數個集合的並集累加和)若a
∈a1∩
a2∩…
∩an ，則
a 至少屬於a1
,a2,
…,an
中乙個集合。
不妨設a
屬於a1
,a2,
…,ak
(1≤k
≤n)而不屬於其它集合。 於是a
在1式左端計算了一次，而
a在右端第乙個和中算了c1
k 次，在第二個和中計算了c2
k ，…，可見，
a 在右端算式中它被計算的總次數是： c1
k−c2
k+c3
k−…+
(−1)
k−1c
kk=1
順帶提一句，這種證明方式是「貢獻法」a−
b 得到的集合就是把a中所有b的元素都去掉後的結果。
例如，若a=
b=
那麼a−b
= 以下的證明來自ckh（數學競賽大佬%%%%%%%）
看不懂的同學在紙上畫一畫，就能看懂了。 設s
=⋃ni
=1ai
設bi=csa
i （補集的意思） 設s
′=⋂n
i=1b
i 再令b
i=s′
+ci
所以|b1
∩…∩b
i|=|
s′|
c1∩c
2∩…∩
cn=ϕ
ai=s−s′
−ci
所以⋃ni
=1ai
=s−s
′−(⋂
ni=1
ci)=
s−s′
代入前面的設，得證。
設p和q都是s的子集。
則有： cs
(p∩q
)=(c
sp)∪
(csq
) cs
(p∪q
)=(c
sp)∩
(csq
) 設
s 是有限集合，ai
都包含於s(
i1,2
,…,n
) ，ai
在s中的補集為cs
ai(i
=1,2
,…,n
)則 |c
sa1∩
csa2
∩…cs
an|=
|s|−
∑i=1
n|ai
|+∑1
≤in|ai
∩aj|
−∑1≤<
i<
jn|ai
∪aj∪
ak|+
…+(−
1)n|
⋂i=1
nai|
因為|⋃
ni=1
ai|=
|s|−
|cs(
⋃ni=
1)ai
| .
根據德.摩根律，我們有cs
(⋃i=
1nai
)=⋂i
=1nc
sai
再根據容斥原理就能得到逐步淘汰公式。
給定集合x=
，φ是從x到x上的一一對映，通常記為: φ=
上沒有任何不動點的置換
φ 的個數是dn
=n!(
1−11
!+12
!−13
!+…+
(−1)
nn!)
設φ是集合x=
上的置換，將
x 上沒有不動點的置換個數記為fn
，恰有乙個不動點的置換個數記為gn
，求證：|f
n−gn
|=1. (14屆加拿大數學奧林匹克試題)設g
n(i=
1,2,
…,n)
表示x 上恰有唯一不動點
i的置換個數。 於是g
n=gn
1+gn
2+…+
gnn,
由上述推論，有fn
=dn,
gn=d
n−1(
i=1,
2,3,
…,n)
, 故g
n=nd
n−1,
所以 |f
n−gn
|=|d
n−nd
n−1|
=|n!
(1−1
1!+1
2!−…
+(−1
)nn!
)|−n
×(n−
1)!(
1−11
!+12
!−…+
(−1)
n−1(
n−1)
!)=|
n!×(
−1)n
n!|=
1 得證
錯排問題 組合數學 容斥原理
3.錯排問題 problem 題目描述 n本不同的書放在書架上。其中m本書已經重新擺放好，將剩下的n m 本書也重新擺放，使每本書都不在原來放的位置。求有幾種擺法。輸入資料 第1行兩個數n,m 接下來m行，每行兩個數xi,yi表示原來的第xi本書已經放到了第yi 個位置上資料保證任意兩個x不相同，任...
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給定 n 個小球，每個小球有顏色，要將它們擺成一行 兩個方案不同，當且僅當存在某個位置，兩種方案擺在這個位置的小球顏色不同。乙個方案合法，當且僅當不存在任意兩個位置相鄰的小球顏色相同，求合法方案數對 10 9 7 取模後的值 首先考慮取反面計算。考慮 兩個方案不同，當且僅當存在某個位置，兩種方案擺在...
bzoj 4710（組合數學 容斥原理）
傳送門 題解 先介紹一條公式 將n個物品分給m個人有c n m 1,m 1 種方案。但是這些方案是包括了不合法的 有些人沒有獲得任何物品 對於這道題，需要保證所有人都分到物品，所以容斥原理解決 ans 0個人沒分到 1個人沒分到 2個人沒分到 n個人沒分到 對於某一種情況 i個人沒分到 當前方案數 ...