揹包問題 01揹包，完全揹包，多重揹包

有goods_num件物品，max_volume的最大裝載量，每種物品只有一件，每種物品都有對應的重量或者說體積volume[i]，價值value[i]，求解裝包的最大價值

假設目前已經有 i-1件物品裝在容量為 j 的揹包中，並且得到最大價值package[ i-1 ][ j ]，當前裝第i件，那麼討論分兩個角度，如果第i個物品裝不入揹包，那麼最大價值不變。如果第i個物品可以放入，那麼如果揹包容量為 j-volume[i]的時候的最大裝包價值加上第i個物品價值大於package[i-1][j]，那麼package[i][j]最大價值就更新了，否則就不裝i

得到狀態轉移方程：

a. volume[ i ] > j ：package[ i-1 ][ j ]

b. j >= volume[ i ] ：max( package[ i-1 ][ j-volume[i] ] +value[ i ], package[ i-1 ][ j ] )

#include#include#includeusing namespace std;
#define max_size 1024
int volume[max_size]; /*每個物品所佔空間（或重量）*/
int value[max_size]; /*物品價值*/
int package[max_size][max_size]; /*未優化，package[i][j] 表示前i個物品放入容量為j的購物車的最大價值*/
int max_volume, goods_num; /*最大容量，物品數量*/
void init()
void _01package() }}
void print_res() /*列印結果*/
} cout << endl;
}

在設計演算法時會發現，上一層的資料在本層中並沒有修改，而是作為狀態的記錄，而且本層當前index只會用到上一層index之前的資料，所以可以降成一維，稱為滾動陣列。並且要求每次都重後往前遍歷，避免重複疊包

#include#include#includeusing namespace std;
#define max_size 1024
int volume[max_size]; /*每個物品所佔空間（或重量）*/
int value[max_size]; /*物品價值*/
int _package[max_size]; /*優化後,package[i]表示容量i的購物車所獲得的最大價值*/
int max_volume, goods_num; /*最大容量，物品數量*/
void init()
void _01package_optimize() /*優化演算法*/
void print_res_optimize()

有goods_num件物品，max_volume的最大裝載量，每種物品數量無限，每種物品都有對應的重量或者說體積volume[i]，價值value[i]，求解裝包的最大價值

與01揹包的思路基本相似，不過重要的一點是，每種物品是無限的，所以揹包可以多填

得狀態轉移方程：

a. volume[ i ] > j：package[i-1][ j ]

b. j>=volume[ i ] ：max( package[ i-1 ][ j-m*volume[ i ] ] +m*value[ i ], package[ i-1 ][ j ] )

#include#include#includeusing namespace std;
#define max_size 1024
int volume[max_size]; /*每個物品所佔空間（或重量）*/
int value[max_size]; /*物品價值*/
int package[max_size][max_size]; /*未優化，package[i][j] 表示前i個物品放入容量為j的購物車的最大價值*/
int max_volume, goods_num; /*最大容量，物品數量*/
void init()
void total_package()
}}

#include#include#includeusing namespace std;
#define max_size 1024
int volume[max_size]; /*每個物品所佔空間（或重量）*/
int value[max_size]; /*物品價值*/
int _package[max_size]; /*優化後,package[i]表示容量i的購物車所獲得的最大價值*/
int max_volume, goods_num; /*最大容量，物品數量*/
void init()
void total_package_optimize() /*優化演算法*/
}void print_res_optimize()/*列印*/

有goods_num件物品，max_volume的最大裝載量，第i件物品有數量為num[i]，每種物品都有對應的重量或者說體積volume[i]，價值value[i]，求解裝包的最大價值

其實就是在乙個展開的01揹包問題，比如有3件相同物品，不如將它展開成 1 1 1 形式，然後01裝包

狀態轉移方程：

a. volume[ i ] > j ：package[ i-1 ][ j ]

b. j >= volume[i] ：max( package[ i-1 ][ j-volume[ i ] ] +value[i], package[ i-1 ][ j ] )

只不過，對於物品數大於1的，需要展開num[i]次

#include#include#includeusing namespace std;
#define max_size 1024
int volume[max_size]; /*每個物品所佔空間（或重量）*/
int value[max_size]; /*物品價值*/
int num[max_size]; /*i物品的個數*/
int package[max_size]; /*優化後,package[i]表示容量i的購物車所獲得的最大價值*/
int max_volume, goods_num; /*最大容量，物品數量*/
void init()
void multi_package() }}
void print_res()

這時候想乙個問題，如果一件物品的數量很大很大，那麼，對於第三個迴圈需要跑的時間就很長，在前面說過，多重揹包是可拆成01揹包形式，那麼，何不提前處理 volume[max_size]，value[max_size]，將問題先轉成01揹包。

轉化時有技巧，運用快速冪的知識，將一件物品拆成 1，2，4.......，當然有個容易想的前提：1~n的數可由2的若干指數和表示

#include#include#includeusing namespace std;

#define max_size 1024

int op_vol[max_size]; /*優化後的物品體積*/

int op_val[max_size]; /*優化後的物品價值*/

int package[max_size]; /*揹包*/

int max_volume,goodsnum; /*揹包最大體積，原先的貨品數量*/

int op_goodsnum; /*優化後的物品數*/

void init() /*初始化*/

void multi_package()

}int main()

if(num>0)

}multi_package();

cout<

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