2023年前, 希臘先哲畢達哥拉斯殺了100頭牛慶賀他所證明的畢式定理 x^2 + y^2 = z^2
他的證法到後世已經失傳了, 不過這無關緊要, 提到他只是為了引出數學王冠上的名珠 -> 費馬大定律
2023年, 法國數學家費馬在巴歇校訂的希臘數學家丟番圖的《算術》第ii卷第8命題旁邊寫道:「將乙個立方數分為兩個立方數, 乙個四次冪分為兩個四次冪, 或者一般地將乙個高於二次的冪分為兩個同次的冪, 這是不可能的. 關於此, 我確信已發現一種美妙的證法, 可惜這裡空白的地方太小, 寫不下」
to cut the long story short, 費馬大定律就是畢達哥拉斯定律的乙個擴充套件, 他相信 x^n + y^n = z^n 這個公式在 n > 2 時是不成立的, 他的美妙證法還沒有記錄下來, 這個不負責任的傢伙就留下乙個傳奇的猜想去了天國, 後世用了300多年時間, 窮盡了無數大師的心血都沒有破解這個看似簡單的秘密, 甚至有人說費馬大定律在人類文明毀滅之前都不會被證明出來了.
358年後的2023年, 美國數學家威爾斯公布了費爾大定律的解法, 得到業界認同, 名噪一時, 秘密真的揭曉了嗎? 絕對沒有, 威爾斯用了200頁的長篇大論, 引入各種最新理論來推導公式, 可以肯定的說, 費馬當年所想到的美妙證法一定不會如此複雜. 而且, 威爾斯的證明是建立在日本數學家谷山-志村的猜想之上.
若p是乙個質數
而e是乙個q(有理數
域）上的乙個橢圓曲線，我們可以簡化定義e的方程模
p；除了有限個p值，我們會得到有n
p個元素的有限域
fp
上的乙個橢圓曲線。然後考慮如下序列 ap
= n
p −
p,這是橢圓曲線e的重要的不變數。從傅利葉變換
，每個模形式也會產生乙個數列。乙個其序列和從模形式得到的序列相同的橢圓曲線叫做模的。 谷山-志村定說:
"所有q上的橢圓曲線是模的"。
上面這段定義摘自中文wiki, 很不好懂, 再次長話短說的概括一下: 橢圓方程與模形式兩個截然不同的數學島嶼間隱藏著一座溝通的橋梁, 他們是一一對應的, 每個橢圓方程都可以用模形式表達出來, 而費馬大定理和谷山-志村猜想是共存關係, 如果費馬大定理成立則谷山-志村猜想也成立, 反之依然, 只要對半穩定的橢圓曲線證成谷山猜想，那麼也就是證成了費馬大定理。
橢圓方程是中學的知識, 假設長軸半徑為a, 短軸半徑為b, 長軸與x軸重合, 橢圓上的任意一點p(x, y)滿足標準公式: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
可是現在依然看不出橢圓方程和費馬定理有什麼聯絡呢? ok, 我們先回退一步, 看看畢達哥拉斯定律和正圓形之間有什麼關聯. 我們知道, 正圓曲線可以用公式來表示為x^2 + y^2=1. 將畢氏定律進行乙個小小的變形, a^2 + b^2 = c^2 ==> (a/c)^2 + (b/c)^2 = 1
a, b, c 都是正整數, 所以a/c和b/c都是有理數, 因此畢達格拉斯定律完美的和正圓曲線對應起來了, 只要正圓曲線公式成立, 畢氏定理就是成立的!!! 數學各個領域總能奇妙的關聯起來.
很多枯燥的數學公式都可以用直觀的幾何圖形來表示, 把上面的推理擴充套件一下, 那麼費馬定律其實就是要證明平面上的曲線點x^n + y^n=1在n>2的時候是不存在的, x, y 都是有理數! 這條曲線就是假想的費馬曲線.
在平面解析幾何中, 橢圓, 拋物線, 雙曲線都是二次曲線, 二次的連續曲線肯定是存在的. 而谷山猜想中的橢圓曲線並非我們中學平面幾何中的二次曲線公式, 而是乙個三次公式: y^2=x^3+ax^2+bx+c (a, b, c 為任意整數)
x, y 取值是無限的, 先想象一下將正常數軸延伸到正負無窮的兩端對接起來, 形成迴圈, 就成了所謂的時鐘算術, 從而生成解的s序列-> sn = t (n=1, 2, 3...)
模形式, modularity form, 就是在兩根實軸和兩根虛軸組成的四維空間中的超對稱結構. 每個模形式包含不同元素, 形為m序列-> mn = r (n=1, 2, 3...)
谷山猜想就是說上面的s序列和m序列是一一對應的!
威爾斯到底怎麼證明的呢? 首先他用群論理念證明出來每個橢圓方程的s序列中的第一項都和某個模形式m序列中的第一項相等. 根據歸納法, 那麼他最後需要證明的是s序列的第n+1項和m序列的第n+1項相等, 這一步卻花了5年的光陰.
谷山猜想描述只有四五頁, 不過我都看不懂, 以後有空再好好讀一下; 網上還有很多人號稱自己用初等數學的方法證明出來費馬大定理的, 倒是很容易看懂, 不過也很容易發現漏洞, 推理大多建立在錯誤的假設之上.
費馬大定理
本篇部落格主要講解乙個比較牛掰的定理 費馬大定理，為什麼這麼牛掰呢，因為這個問題困擾了困擾了整個世界三百多年，直到上個世紀90年代終於被牛掰的人安德魯 懷爾斯給證明出來，你說這個定理牛不牛掰。那麼這個牛掰的定理講的是啥？這就是困擾世界三個多世紀的問題，瞅著是不是挺簡單的，但是證明那就呵呵了，在下能力...
費馬大定理與費馬小定理
費馬大定理，又被稱為 費馬最後的定理 由17世紀法國數學家皮耶 德 費瑪提出。他斷言當整數n 2時，關於x,y,z的方程 xn yn zn 沒有正整數解。德國佛爾夫斯克曾宣布以10萬馬克作為獎金獎給在他逝世後一百年內，第乙個證明該定理的人，吸引了不少人嘗試並遞交他們的 證明 被提出後，經歷多人猜想辯...
費馬素數（費馬質數）
費馬素數也叫費馬質數。其中 n 為非負整數。法國數學家費馬於1640年提出了以下猜想 可以看出，前4個是質數，因為第5個數實在太大了，費馬認為是質數。由此提出 費馬沒給出證明 形如 1732年，尤拉算出第五個費馬數 4294967297 641 6700417 不是質數，宣布了費馬的這個猜想不成立，...