尋找最小的k個數

輸入n個整數，輸出其中最小的k個。

要求乙個序列中最小的k個數，按照慣有的思維方式，則是先對這個序列從小到大排序，然後輸出前面的最小的k個數。

至於選取什麼的排序方法，我想你可能會第一時間想到快速排序（我們知道，快速排序平均所費時間為n*logn），然後再遍歷序列中前k個元素輸出即可。因此，總的時間複雜度：o（n * log n)+o(k)=o（n * log n）。

咱們再進一步想想，題目沒有要求最小的k個數有序，也沒要求最後n-k個數有序。既然如此，就沒有必要對所有元素進行排序。這時，咱們想到了用選擇或交換排序，即：

1、遍歷n個數，把最先遍歷到的k個數存入到大小為k的陣列中，假設它們即是最小的k個數；

2、對這k個數，利用選擇或交換排序找到這k個元素中的最大值kmax（找最大值需要遍歷這k個數，時間複雜度為o（k））；

3、繼續遍歷剩餘n-k個數。假設每一次遍歷到的新的元素的值為x，把x與kmax比較：如果x < kmax，用x替換kmax，並回到第二步重新找出k個元素的陣列中最大元素kmax『；如果x >= kmax，則繼續遍歷不更新陣列。

每次遍歷，更新或不更新陣列的所用的時間為o（k）或o（0）。故整趟下來，時間複雜度為n*o（k）=o（n*k）。

更好的辦法是維護容量為k的最大堆，原理跟解法二的方法相似：

這樣下來，總的時間複雜度:o（k+（n-k）*logk）=o（n*logk）。此方法得益於堆中進行查詢和更新的時間複雜度均為：o(logk)（若使用解法二：在陣列中找出最大元素，時間複雜度：o（k））。

在《資料結構與演算法分析--c語言描述》一書，第7章第7.7.6節中，闡述了一種在平均情況下，時間複雜度為o（n）的快速選擇演算法。如下述文字：

此演算法的平均執行時間為o(n)。

示例**如下：

//quickselect 將第k小的元素放在 a[k-1]  
void quickselect( int a, int k, int left, int right )
while( a[ --j ] > pivot )
if( i < j )
swap( &a[ i ], &a[ j ] );
else
break;
}//重置樞紐元
swap( &a[ i ], &a[ right - 1 ] ); 
if( k <= i )
quickselect( a, k, left, i - 1 );
else if( k > i + 1 )
quickselect( a, k, i + 1, right );
}else 
insertsort( a + left, right - left + 1 );
}

這個快速選擇select演算法，類似快速排序的劃分方法。n個數儲存在陣列s中，再從陣列中選取「中位數的中位數」作為樞紐元x，把陣列劃分為sa和sb倆部分，sa<=x<=sb，如果要查詢的k個元素小於sa的元素個數，則返回sa中較小的k個元素，否則返回sa中所有元素+sb中小的k-|sa|個元素，這種解法在平均情況下能做到o(n)的複雜度。

更進一步，《演算法導論》第9章第9.3節介紹了乙個最壞情況下亦為o(n)時間的select演算法，有興趣的讀者可以參看。

1、谷歌面試題：輸入是兩個整數陣列，他們任意兩個數的和又可以組成乙個陣列，求這個和中前k個數怎麼做？

分析：

「假設兩個整數陣列為a和b，各有n個元素，任意兩個數的和組成的陣列c有n^2個元素。
那麼可以把這些和看成n個有序數列：
a[1]+b[1] <= a[1]+b[2] <= a[1]+b[3] <=…
a[2]+b[1] <= a[2]+b[2] <= a[2]+b[3] <=…
…a[n]+b[1] <= a[n]+b[2] <= a[n]+b[3] <=…
問題轉變成，在這n^2個有序數列裡，找到前k小的元素」

2、有兩個序列a和b,a=(a1,a2,...,ak),b=(b1,b2,...,bk)，a和b都按公升序排列。對於1<=i,j<=k，求k個最小的（ai+bj）。要求演算法盡量高效。

3、給定乙個數列a1,a2,a3,...,an和m個三元組表示的查詢，對於每個查詢(i，j，k)，輸出ai，ai+1，...，aj的公升序排列中第k個數。

尋找最小的k個數

尋找最小的k個數

尋找最小的k個數

尋找最小的 k 個數

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