較為深度的理解，這裡做了乙個總結，詳細內容請看鏈結**詳解
2x2的行列式實際上是兩個行向量之間組成的平行四邊形的面積，3x3的行列式實際上是三個行向量組成的長方體體積，以此類推到nxn是廣義的「體積」
**詳解
矩陣乘法就是線性函式。
將矩陣看做函式，矩陣乘法其實是在做線性對映
同乙個線性變換，不同基下的矩陣稱為相似矩陣
**詳解
「仿射變換」：「線性變換」+「平移」
有的線性變換是可逆的，有的不行，比如行列式=0這樣的線性變換就是不可逆的。
線性變換從幾何直觀有三個要點：
線性變換是通過矩陣乘法來實現的。
仿射變換從幾何直觀只有兩個要點：
少了原點保持不變這一條。
仿射變換不能只通過矩陣乘法來實現，還得有加法。
但是在增加乙個維度之後，就可以在高維度通過線性變換來完成低緯度的仿射變換
**詳解
矩陣的秩：矩陣中所有行向量中極大線性無關組的元素個數。
秩：是影象經過矩陣變換之後的矩陣維度
秩：列空間的維度，行空間的維度，行秩與列秩相等
可以理解為影象所包含的資訊的豐富程度。不嚴謹的講，低秩表徵一種冗餘程度。秩越低表示資料冗餘性越大，因為用很少幾個基就可以表達所有資料了。相反，秩越大表示資料冗餘性越小。
**詳解
將特徵向量當做乙個普通的向量，使用很多個矩陣和它相乘，做乘法之後方向不變的那個矩陣的特徵向量就是這個矩陣的特徵向量，大小的變動就是特徵值。
特徵向量其實是個方向，特徵值其實是個大小，特徵向量所在直線上的向量都是特徵向量
特徵值分解可以認為有乙個基，首先左乘乙個正交陣變為標準基，然後乘乙個對角陣做伸縮變換，然後再乘乙個正交陣變回去
矩陣特徵值是對特徵向量進行伸縮和旋轉程度的度量，實數是只進行伸縮，虛數是只進行旋轉，複數就是有伸縮有旋轉。
**詳解
施密特正交化就是把非正交基變為正交基的。
**詳解稱矩
陣⇔二次
型矩陣⇔
二次
型對稱矩陣\leftrightarrow二次型矩陣\leftrightarrow二次型
對稱矩陣⇔二
次型矩陣
⇔二次型
乙個平面在圓錐體上運動，可以得到圓、橢圓、雙曲線，這也是它們之間具有線性關係的**
圓錐曲線都可以表示為:
[ xy
][ab
bc][
xy]=
1x=[
xy]a
=[ab
bc]}
⇒xta
x\begin\left.\begin\lbrack x\;y\rbrack&\begina&b\\b&c\end\beginx\\y\end=\begin1\end\\x&=\begin\beginx\\y\end\end\\a&=\begin\begina&b\\b&c\end\end\end\right\}\rightarrow x^tax\\\end
[xy]xa
[ab
bc
][xy
]=1
=[x
y]
=[ab
bc
]⎭
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎬⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎫⇒
xtax
規範化是指比如乙個橢圓看起來有點歪，不太好處理，我們將它扶正。
二次型矩陣包含了旋轉和拉伸兩種變換，將其拆分為三個矩陣相乘的形式對其進行規範化只保留拉伸的部分去掉旋轉的部分，其中旋轉的部分是列向量單位向量並且是正交向量。
二次型矩陣，都是對稱矩陣，所以特徵值分解總可以得到正交矩陣與對角矩陣。
（還有乙個問題是鏈結中沒有講到的）為什麼二次型矩陣一定是實對稱矩陣？
如果a是乙個未必對稱的方陣，令b=(
a+at
)2
b=\frac2
b=2(a+
at)
那麼b對稱，並且二次型xta
x=xt
bx
x^tax=x^tbx
xtax=x
tbx也就是說即使a不對稱，一定存在乙個等效的對稱矩陣來表示這個二次型
所以為了研究方便就選擇（或者理解成規定）用對稱陣來表示二次型
如何理解線性代數
矩陣的乘法，其實就是多個線性變換疊加的效果，它顯然滿足結合律，但不滿 換律。主對角線全是 1 的矩陣所對應的線性變換其實就是不變的意思，因此它叫做單位矩陣。矩陣 a 乘以矩陣 b 得單位矩陣，就是做完線性變換 a 後再做一次線性變換 b 就又變回去了的意思，難怪我們說矩陣 b 是矩陣 a 的逆矩陣。...
線性代數及其應用 《線性代數及其應用》概念筆記
矩陣 乙個陣列。它的核心作用是它是線性方程組的一種判斷解和求解的方法。係數矩陣 線性方程的所有係數構成的乙個陣列。增廣矩陣 係數和引數共同構成的陣列。階梯型矩陣 每一行的第乙個不為零的元素的左邊及其所在列以下全為零。約束變元與自由變元 非零行的首個非零元為約束變元 基本變數 其他的都是自由變元 自由...
線性代數基礎概念筆記
每個矩陣對應一種空間變換，每一列可以看成是乙個基向量。在原來空間中等距分布的點，在變換後的空間中仍然保持等距分布 秩代表變換後的空間維數。滿秩說明變換後維數不變，可以找到逆變換使其復原 如果不滿秩，變換後維數降低了，此時就找不到對應的逆變換使其空間復原了，所以不可逆。行列式是乙個值，這個值表示在該線...