斐波那契數列解法

1、概念

在數學上，費波那契數列是以遞迴的方法來定義：

f0=0

f1=1

fn=fn-1+fn-2（n≧2）

用文字來說，就是費波那契數列由0和1開始，之後的費波那契係數就是由之前的兩數相加而得出。首幾個費波那契係數是：

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233……（oeis中的數列a000045）

特別指出：0不是第一項，而是第零項。

2、解法

2.1遞迴解法

（1）**

/*斐波那契遞迴解法*/
#include #include using namespace std;
long fibonacci(unsigned int n) else 
}int main()
else 
}long fibonacci(unsigned int n)
unsigned long ret=0;
//申請陣列用於儲存已經計算過的內容
unsigned long *array=(unsigned long*)calloc(n+1, sizeof(unsigned long));
if(array == null)
array[1]=1;
ret=fibonacciprocess(array,n);
free(array);
array=null;
return ret;
}

可見改進版本，時間複雜度為o(n)，避免了重複計算，但是呼叫鏈仍然比較長。

2.3 迭代解法

遞迴法不夠優雅。如果不用計算機計算，讓你去算第n個斐波那契數，會怎麼做？最簡單直接的方法是：知道第乙個和第二個，計算第三個；知道第二個和第三個，計算第四個，以此類推。最終可以得到我們需要的結果。這種思路沒有冗餘的計算。**實現如下：

/*斐波那契數迭代解法*/
long fibonacciiterration(unsigned int n)
unsigned int loop=1;
unsigned long returnval=0;
while(loop < n)
return returnval;
}

時間複雜度為o(n)。

2.4 尾遞迴解法

要計算第n個斐波那契數，我們可以先先計算第乙個，第二個，如果未達到n，則繼續遞迴計算，尾遞迴實現**如下：

/*斐波那契數尾遞迴解法*/
long fibonaccitialrecursionprocess(unsigned int n, unsigned long prepreval, unsigned long preval,unsigned long begin) else 
}long fibonacci(unsigned int n) else 
}

尾遞迴效率並不遜於迭代法。尾遞迴在函式返回之前的最後乙個操作仍然是遞迴呼叫。尾遞迴的好處是，進入下乙個函式之前，已經獲得了當前函式的結果，因此不需要保留當前函式的環境，記憶體占用自然也是比最看是提到的遞迴要小。時間複雜度為o(n)。

2.5 矩陣快速冪解法

這是一種高效的解法，推導過程如下：

如果a為矩陣，等式同樣成立。

假設有矩陣2*2矩陣a，滿足下面的等式：

可以得到矩陣a：

因此也就可以得到下面的矩陣等式：

再進行變換如下：

以此類推，得到：

實際上f(n)就是矩a^(n-1)中的a[0][0]，或者是矩a^n中的a[0][1]。

現在的問題就歸結為，如何求a^n，其中a為2*2的矩陣。根據我們最開始的公式，很容易就有思路，**實現如下：

/*矩陣快速冪解法*/
#define max_col 2
#define max_row 2
typedef unsigned long matrixtype;
//計算2*2矩陣乘法，這裡沒有寫成通用形式的矩陣乘法
int matrixdot(matrixtype a[max_row][max_col],matrixtype b[max_row][max_col],matrixtype c[max_row][max_col])
matrixtype fibonacci(int n)
matrixtype result[max_col]=;
matrixtype a[2]=;
while(n > 0)
n /= 2;
matrixdot(a,a,a);
} return result[0][1];
}

該演算法的關鍵部分在於對a^n的計算，它利用了我們開始提到的等式，對奇數和偶數分別處理。假設n為9，初始矩陣為init則計算過程如下：

·9為奇數，則計算init*a，隨後a變為a*a，n變為9/2，即為4

·4為偶數，則結果仍為init*a，隨後a變為(a2)*( a2)=a4，n變為4/2，即2

·2為偶數，則結果仍為init*a，隨後a變為(a4)*( a4)=a8，n變為2/2，即1

·1為奇數，則結果為init*(a^8)*a

可以看到，計算次數類似於二分查詢次數，其時間複雜度為o(logn)。

斐波那契數列的通項公式為：

**實現如下：

/*斐波那契數列通項公式解法*/
long fibonacci(unsigned long n)
return (unsigned long)((pow((1+sqrt(5))/2,n)-pow((1-sqrt(5))/2,n))/sqrt(5));
}

斐波那契數列解法

斐波那契數列解法

斐波那契數列的快速解法

題目斐波那契數列。解法二

斐波那契數列解法

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題目 斐波那契數列。 解法二

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