單調佇列優化多重揹包

多重揹包：n個物品，揹包承重m，每個物品 重量：wi 價值vi 個數為ci

普通多重揹包複雜度：o(nmc)

**：

for

(int i=
1;i<=n;i++
)for
(int j=
1;j<=m;j++
)for
(int k=
1;k<=c[i]
&& k*w[i]
<=j;k++
) f[i]
[j]=
max(f[i]
[j],f[i-1]
[j-k*w[i]
]+k*v[i]
);

考慮把o(c )的轉移壓縮為o(1)

變形:a=j/w[i]

b=j%w[i]

j=b+aw[i]

思路:承重為j時，不考慮ci限制時最多選a個i號元素。假設a個中不選k個，即選a-k個。

轉移方程：

f[i]

[j]=
max(f[i]
[j],f[i-1]
[j-(a-k)
*w[i]]+
(a-k)
*v[i]);
等價於f[i]
[j]=
max(f[i]
[j],f[i-1]
[b+k*w[i]]+
(a-k)
*v[i]);
即是f[i]
[j]=
max(f[i]
[j],f[i-1]
[b+k*w[i]
]-k*v[i]
)+a*v[i]
;//(a-k<=c[i])

那麼我們列舉b和k就行了。然後用單調佇列維護max。

b+a*w[i]即為j恰好可以表示1~m的所有數

求f[i][j]用到哪些狀態，我來列舉下就一目了然了

f[i]

[b+0
*w[i]]=
max(f[i-1]
[b+0
*w[i]]-
0*v[i])+
0*v[i]
;f[i]
[b+1
*w[i]]=
max(f[i-1]
[b+0
*w[i]]-
0*v[i]
,f[i-1]
[b+1
*[w[i]])
-1*v[i])+
1*v[i]
;f[i]
[b+2
*w[i]]=
max(f[i-1]
[b+0
*w[i]]-
0*v[i]
,f[i-1]
[b+1
*[w[i]])
-1*v[i]
,f[i-1]
[b+2
*w[i]]-
2*v[i]])
+2*v[i];.
...f[i]
[b+k*w[i]]=
max(f[i-1]
[b+0
*w[i]]-
0*v[i]
,f[i-1]
[b+1
*[w[i]])
-1*v[i]
,f[i-1]
[b+2
*w[i]]-
2*v[i]].
...f[i-1]
[b+a*w[i]
]-k*v[i]
)+k*v[i];.
...f[i]
[b+a*w[i]]=
max(f[i-1]
[b+0
*w[i]]-
0*v[i]
,f[i-1]
[b+1
*[w[i]])
-1*v[i]
,f[i-1]
[b+2
*w[i]]-
2*v[i]].
...f[i-1]
[b+a*w[i]
]-a*v[i]
)+a*v[i]
;

**片：

for

(int b=
0; b; b++
)}

#include

using namespace std;
#define n 110
#define inf 999999999
int t,n,m,w[n]
,v[n]
,c[n]
,ans,he,ta;
int f[n]
[7005
],q[
7005
],num[
7005];
intmain()
}}printf
("%d\n"
,f[n]
[m]);}
return0;
}

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