基於單調佇列的多重揹包優化

多重揹包，想必看到這篇博文的人應該都知道了，這裡僅僅列出偽**（$n$為物品個數，$m$為揹包容積）

for i := 1 to n
for j := 0 to m
for k := 0 to c[i]
f[i][j] = max(f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i])

顯然，這種演算法的複雜度是很不可取的，於是我們來考慮優化

設$c,v,w$分別為當前物品的個數，體積，價值，根據原始轉移方程可知，$f_i$一定是由$f_$轉移而來，所以$c,v,w$不用開陣列（有的$oj$竟然會卡空間...），為了方便說明，以下設陣列$g$表示陣列$f_$，於是方程簡化為：

f[j] = max(g[j - k * v] + k * w) //0≤k≤c

顯然，就算不簡化，我們也能看出：$f_j$只從$f_,f_...f_$轉移過來，且對於每乙個這其中的$j$，都有如下性質：它們模上$v$後的餘數相同，於是我們將其模$v$後的餘數拎出來考慮，迴圈可以這樣寫：

for i := 1 to n
for j := 0 to v - 1
...

接下來呢，就要列舉係數$k$了

for (k = 0; k * v + j <= m; ++k)

你不覺得列舉係數很麻煩嗎？這樣就好了

for (k = j; k <= m; k += v)

接下來來看轉移方程，根據之前得出的轉移方程，顯然我們是要找到在乙個長度為$c$的區間內最大的$g[j - k \times v] + k\times w$，可以用單調佇列來儲存，於是又有

while (l <= r && (k - q[l]) / v >= c) ++l;
while (l <= r && f[i - 1][k] - f[i - 1][q[r]] >= (k - q[r]) / v * w) --r;
q[++r] = k; 
f[i][k] = f[i - 1][q[l]] + (k - q[l]) / v * w;

#include #include #include using namespace std;
const int n = 1e3 + 10, m = 1e4 + 10;
int n, m, f[n][m], v, w, c, q[m], l, r, ans;
int main () 
} }
for (int i = 1; i <= m; ++i)
ans = max (ans, f[n][i]);
printf ("%d\n", ans);
return 0;
}

單調佇列初始化為$l=1,r=0$，且在迴圈$j$內初始化

單調佇列長度開到$m$，因為有可能出現$v=1$的情況

最後答案不一定存在$f_$裡面，要在$1...m$掃一遍

一定要記得$c=min(c,m/v)$，為了防止揹包溢位

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單調佇列優化多重揹包

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