對於揹包問題，經典的揹包九講已經講的很明白了，本來就不打算寫這方面問題了。
但是吧。
我發現，那個最出名的九講竟然沒寫佇列優化的揹包。。。。
那我必須寫一下咯嘿嘿，這麼好的思想。
我們回顧一下揹包問題吧。
題目 有n件物品和乙個容量為v的揹包。第i件物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。
這是最基礎的揹包問題，特點是：每種物品僅有一件，可以選擇放或不放。
f[i][v]表示前i件物品恰放入乙個容量為v的揹包可以獲得的最大價值。則其狀態轉移方程便是：
f[i][v]=max。
就是說，對於本物品，我們選擇拿或不拿
比如費用是3.
我們求**中黃色部分，只和兩個黑色部分有關
拿了，揹包容量減少，我們價值加上減少後最大價值。
不拿，最大價值等於沒有這件物品，揹包不變，的最大價值。
題目 有n種物品和乙個容量為v的揹包，每種物品都有無限件可用。第i種物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。
基本思路
這個問題非常類似於01揹包問題，所不同的是每種物品有無限件。
因為我們拿了本物品還可以繼續拿無限件，對於當前物品，無論之前拿沒拿，還可以繼續拿，所以是f[i][v-c[i]]+w[i]
換乙個角度說明這個問題為什麼可以f[i][v-c[i]]+w[i]，也就是同一排。
其實是這樣的，我們對於黃色部分，也就是當前物品，有很多種選擇，可以拿乙個，兩個。。。一直到揹包容量不夠了。
也就是說，可以不拿，也就是j1，可以拿乙個，也就是g1+w[i]，也可以拿兩個，也就是d1+2w[i]，拿三個，a1+3w[i]。
但是我們看g2，g2其實已經是之前的最大了：a1+2w[i]，d1+w[i]，g1他們中最大的，對麼？
既然g2是他們中最大的。
我們怎麼求j2？
是不是只要求g2+w[i]和j1的最大值就好了。
因為g2把剩下的情況都儲存好了。
題目 有n種物品和乙個容量為v的揹包。第i種物品最多有n[i]件可用，每件費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。
和之前的完全揹包不同，這次，每件物品有最多拿n[i]件的限制。
思路一：我們可以把物品全都看成01揹包：比如第i件，我們把它拆成n[i]件一樣的單獨物品即可。
思路二：思路一時間複雜度太高。利用二進位制思路：乙個n位二進位制，能表示2^n種狀態，如果這些狀態就是拿了多少物品，我們可以把每一位代表的數都拿出來，比如n[i]=16，我們把它拆成1，2，4，8，1，每一堆物品看成乙個單獨物品。
為什麼最後有個一？因為從0到16有十七種狀態，四位不足以表示。我們最後補上第五位1.
把拆出來的物品按01揹包做即可。
思路三：我們可以利用單調佇列：
再回想完全揹包：為什麼可以那麼做？因為每件物品能拿無限件。所以可以。而多重揹包因為有了最多拿多少的限制，我們就不敢直接從g2中拿數，因為g2可能是拿滿了本物品以後才達到的狀態 。
比如n[i]=2，如果g2的狀態是2w[i]，拿了兩個2物品達到最大值，我們的j2就不能再拿本物品了。
如何解決這個問題？就是我給的**中的，雙端單調佇列
利用視窗最大值的思想。
大家想想怎麼實現再看下文。
發現問題了嗎？
我們求出j2以後，按原來的做法，是該求k2的，但是k2所需要的資訊和j2完全不同，紅色才是k2可能需要的資訊。
所以我們以物品重量為差，先把黑色系列推出來，再推紅色系列，依此類推。
這個例子就是推三次，每組各元素之間差3.
這樣就不會出現構造一堆單調佇列的尷尬情況了。
在**中繼續詳細解釋：
//輸入
int n;
int w;
int w[max_n];
int v[max_n];
int m[max_n];
int dp[max_n+1];//壓空間，本知識參考
int deq[max_n+1];//雙端佇列，儲存下標
int deqv[max_n+1];//雙端佇列，儲存值
他們之中最大的就是隊頭，加上最多儲存個數就好。
void solve()}}
}
單調佇列優化多重揹包問題
樸素更新 for int i 0 i n i 由 f j max f j f j v w,f j 2 v 2 w,可以觀測到 f j f j v f j 2v f r r j v 是一類，即後面的j只會通過同類的前面元素遞迴過來 因此可以分成如下幾類 f 0 f v f 2v f kv f 1 f ...
單調佇列優化多重揹包
多重揹包的最原始的狀態轉移方程 令 c i min num i j v i f i j max f i 1 j k v i k w i 1 k c i 這裡的 k 是指取第 i 種物品 k 件。如果令 a j v i b j v i 那麼 j a v i b.這裡用 k 表示的意義改變，k 表示取第...
單調佇列優化多重揹包
多重揹包 n個物品，揹包承重m，每個物品 重量 wi 價值vi 個數為ci 普通多重揹包複雜度 o nmc for int i 1 i n i for int j 1 j m j for int k 1 k c i k w i j k f i j max f i j f i 1 j k w i k ...