差=真
實值−預
測值
誤差=真實值-**值
誤差=真實值
−**值
。最小二乘法的核心思想就是——通過最小化誤差的平方和，使得擬合物件無限接近目標物件，最小二乘法一般解決線性問題。
假設線性回歸的假設函式為
katex parse error: no such environment: align at position 8: \begin̲ h_\omega(x_0,x…
其中n −1
n-1n−
1是特徵數。如果針對所有的ωi(
i=1,
2,⋯,
n)
\omega_i\quad(i=1,2,\cdots,n)
ωi(i=
1,2,
⋯,n)
而言，假設函式是非線性的，但是針對某乙個ω
i\omega_i
ωi的話，由於變數只剩下乙個ω
i\omega_i
ωi，假設函式就是線性的，既可以使用最小二乘法求解。
通過線性回歸的假設函式既可以得到目標函式為
katex parse error: no such environment: align at position 8: \begin̲ j(\omega_0,\om…
其中m
mm為樣本數。
利用目標函式分別對ω
i\omega_i
ωi求偏導，並且令導數為0，即
∑ j=
1m∑i
=0n(
ωixi
(j)−
y(j)
)xi(
j)=0
\sum_^m \sum_^n (\omega_ix_i^ - y^)x_i^ = 0
j=1∑m
i=0∑
n(ω
ixi
(j)
−y(j
))xi
(j)
=0通過求解上式，可以得到n+1
n+1n+
1元一次方程組，通過求解這個方程組就可以的得到所有的ω
i\omega_i
ωi。
最小二乘法矩陣法比代數法簡單不少。我們把代數法中線性回歸的假設函式可以寫成
h ω(
x)=x
ωh_\omega(x) = x\omega
hω(x)
=xω其中hω(
x)
h_\omega(x)
hω(x)
是m ∗1
m*1m∗
1維的向量，x
xx是m∗n
m*nm∗
n維的矩陣，ω
\omega
ω是n∗
1n*1
n∗1維的向量，m
mm為樣本數，n
nn為特徵數。
通過上述矩陣形式的假設函式可以得到矩陣形式的目標函式為
j (ω
)=12
(xω−
y)t(
xω−y
)j(\omega)=}(x\omega-y)^t(x\omega-y)
j(ω)=2
1(x
ω−y)
t(xω
−y)其中12}
21只是為了方便計算。
目標函式對ω
\omega
ω求導取0，可以得
∇ ωj
(ω)=
xt(x
ω−y)
=0
\nabla_\omega = x^t(x\omega-y) =0
∇ωj(ω
)=xt
(xω−
y)=0
上述求偏導使用了矩陣求導鏈式法則和兩個矩陣求導的公式
katex parse error: no such environment: align at position 8: \begin̲ & \nabla_x(x^t…
通過對上述式子整理可得
katex parse error: no such environment: align at position 8: \begin̲ & x^tx\omega=x…
通過上述的化簡可以直接對向量ω
\omega
ω求導，而不需要對ω
\omega
ω中的每乙個元素求偏導。
簡潔高效，比梯度下降法方便
最小二乘法需要計算xtx
x^tx
xtx的逆矩陣，可能xtx
x^tx
xtx沒有逆矩陣(一般需要考慮使用其他的優化演算法，或者重新處理資料讓xtx
x^tx
xtx有逆矩陣)
當特徵數n
nn非常大的時候，xtx
x^tx
xtx的計算量非常大(使用隨機梯度下降法或使用降維演算法降低特徵維度)
最小二乘法只有擬合函式為線性的時候才可以使用(想辦法通過某些機巧讓擬合函式轉化為線性的)
最小二乘法
include stdafx.h include include const int n 2 const int m 5 int sgn double x void lss double g n 1 int xm,int xn,double x m double p,double w m lss函式...
最小二乘法
在研究兩個變數之間的關係時，可以用回歸分析的方法進行分析。當確定了描述兩個變數之間的回歸模型後，就可以使用最小二乘法估計模型中的引數，進而建立經驗方程.簡單地說，最小二乘的思想就是要使得觀測點和估計點的距離的平方和達到最小.這裡的 二乘 指的是用平方來度量觀測點與估計點的遠近 在古漢語中 平方 稱為...
最小二乘法
最小二乘法 least squares analysis 是一種 數學 優化 技術，它通過 最小化 誤差 的平方和找到一組資料的最佳 函式 匹配。最小二乘法是用最簡的方法求得一些絕對不可知的真值，而令誤差平方之和為最小。最小二乘法通常用於 曲線擬合 least squares fitting 這裡有...