本題目算是面試比較常見的了，主要考察對演算法的理解，最優的解法是動態規劃，本篇寫一下本題的動態規劃思路和解法。
題目描述
乙個機械人位於乙個 m x n 網格的左上角（起始點為圖中的 「start」），機械人每次只能向下或者向右移動一步。機械人試圖達到網格的右下角（圖中標記為 「finish」）。問總共有多少條不同的路徑？
示例一：
輸入：m = 3, n = 2示例二：輸出：3
解釋：從左上角開始，總共有 3 條路徑可以到達右下角。
向右 -> 向右 -> 向下
向右 -> 向下 -> 向右
向下 -> 向右 -> 向右
輸入：m = 7, n = 3題解思路輸出：28
暴力法：使用 dfs 遍歷，從 （1，1）-> （m, n），當到達右下角時，計數加一，直到遍歷結束。只能解決一部分用例，會執行超時，時間複雜度 o（n^2）
動態規劃：開闢新的狀態空間，儲存每個點的狀態值，該狀態值表示到達該點所能走的路數。最終到達右下角時，該點所記錄的路數就是總共的不同路徑數。因為只需要遍歷一次二維陣列的狀態值，因此時間複雜度為 o（n）
dfs & dp：看到乙個有意思的題解，對 dfs 做了優化，使用狀態轉移方程去除重複計算，因此時間複雜度同 dp
dp最優解法：優化儲存空間，使用一維陣列儲存狀態。空間複雜度從 o（m x n）降到 o（n）
如何求每個點的狀態值呢？這個問題就用到了數學歸納法了，觀察可得：
當 m = 1, n = 1 時，起點不用向右和向下就已到達，路數為 1；
當 m = 1, n = 2 時，起點只能向下一步到達目標點，路數為 1；
當 m = 2, n = 1 時，起點只能向右一步到達目標點，路數為 1；
當 m = 2, n = 2 時，起點可以往右一步再往下一步，或者先往下再往右到達目標點，路數為 2；
當 m = 2, n = 3 時，起點可以往下兩步再往右一步，或者到達點（2，2）再往下一步，
而到達點（2，2）的路數為 2，因此到達目標點的路數總共 為 3；
以此類推，可以發現規律，到達點（m, n）的路數是（m - 1, n）的路數加（m, n - 1）的路數和，
即：status[m][n] = status[m - 1][n] + status[m][n-1]（狀態轉移方程）
**實現
遞迴**
int status[
101]
[101]=
;int
uniquepaths
(int m,
int n)
if(m ==
1|| n ==1)
// 當該點狀態值 > 0 時，說明已經計算過路徑數，無需重複計算
if(status[m]
[n]>0)
status[m -1]
[n]=
uniquepaths
(m -
1, n)
; status[m]
[n -1]
=uniquepaths
(m, n -1)
; status[m]
[n]= status[m -1]
[n]+ status[m]
[n -1]
;return status[m]
[n];
}
int
uniquepaths
(int m,
int n)
;int i, j;
for(i =
1; i <= m; i++
)else}}
return status[m]
[n];
}
int status[
101]
[101];
intdfs
(int x,
int y)
if(x ==
1|| y ==1)
if(status[x]
[y]>0)
status[x]
[y]=
dfs(x -
1, y)
+dfs
(x, y -1)
;return status[x]
[y];
}int
uniquepaths
(int m,
int n)
int
uniquepaths
(int m,
int n)
for(i =
1; i < m; i++)}
return status[n -1]
;}
Leetcode 62 不同路徑
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