有三堆分別有 a，b，c 個物品，兩個人輪流從某一堆取任意多的物品，規定每次至少取乙個，多者不限，最後取光者得勝。
當 a ⊕ b ⊕ c == 0 時，先手必敗；
反之，先手必勝。
對於 a，b，c 三個數，我先假設 a 最大， b 第二大， c 最小，且 a，b，c 對應的二進位制位數分別為 x，y，z
那麼，要使得 a ⊕ b ⊕ c == 0，就得滿足以下條件（ a，b，c 的二進位制形式都沒有前導零的情況下）：
（1） a 和 b 的二進位制位數要一致，且 c 的二進位制位數要小於 x，否則通過異或運算，不可能得到 a ⊕ b ⊕ c == 0，即 x == y 且 x > z 恆成立
（2）對於 a 和 b 的二進位制形式下，a 和 b 的二級制數值從第 z+1 位到第 x 位要保持一致，否則不可能得到 a ⊕ b ⊕ c == 0
假設 a，b，c 分別對應第 1，2，3 堆
當 a ⊕ b ⊕ c == 0 時
先手先從第 1 堆裡面取 k1 個物品
（1）當 k1 > c 時，（ a - k1 ）⊕ b > c 恆成立，所以後手可以從第 2 堆裡面取 k2 個物品，使得（ a - k1 ）⊕ （ b - k2 ）== c 恆成立
（2）當 k1 < c 時，（ a - k1 ）⊕ c > b 恆成立，所以後手可以從第 3 堆裡面取 k2 個物品，使得（ a - k1 ）⊕ （ c - k2 ）== b 恆成立
（3）當 k1 == c 時，（ a - k1 ）== b 恆成立，那麼，後手只需要把第 3 堆取完即可
當先手從第 2，3 堆中取任意物品時，也是以上過程
綜上所述，當 a ⊕ b ⊕ c == 0 時，先手不管怎麼取，後手總能維持先手必敗狀態
當 a ⊕ b ⊕ c != 0 時，先手一定可以從 1，2，3 堆中取出物品，使得後手面臨先手必敗態
有 n 堆分別有 a [ i ]（ i = 1，2 … n ）個物品，兩個人輪流從某一堆取任意多的物品，規定每次至少取乙個，多者不限，最後取光者得勝。
結論也是和三堆物品的一樣
當 a [ 1 ] ⊕ a [ 2 ] ⊕ … ⊕ a [ n ] == 0 時，先手必敗；
反之，先手必勝。
博弈論（尼姆博弈）
尼姆博弈指的是這樣乙個博弈遊戲 有任意堆物品，每堆物品的個數是任意的，雙方輪流從中取物品，每一次只能從一堆物品中取部分或全部物品，最少取一件，取到最後一件物品的人獲勝。結論就是 把每堆物品數全部異或起來，如果得到的值為0，那麼先手必敗，否則先手必勝。這樣理解 先手必敗態為面臨的所有堆都為0，而此時的...
博弈 尼姆博弈
今天我們來聊一聊另一種博弈 尼姆博弈，這一種博弈可以說是巴什博弈的一種變體，巴什博弈中 石子 的堆數為1堆，而在利姆博弈中 石子 的堆數為n堆，還有在尼姆博弈中取石子的規則也發生了變化，前一種博弈中取石子的數量限定在 1,l 而後一種取石子的數量可以為任意數 但不能不取，而且還不能超過這一堆石子的總...
演算法與資料結構 博弈論（高階篇之尼姆博弈）
尼姆博弈 nimm game 有任意堆物品，每堆物品的個數是任意的，雙方輪流從中取物品，每一次只能從一堆物品中取部分或全部物品，最少取一件，取到最後一件物品的人獲勝。分析 我們先來看假設有三堆物品時的情況 這種情況最有意思，它與二進位制有密切關係，我們用 a，b，c 表示某種局勢，則前幾種奇異局勢如...