經典演算法之不定方程問題

所謂不定方程，是指未知數個數多於方程個數，且對解都有一定的限制。

首先，來看一道經典的數學問題「百錢買雞」問題。

中國古代數學家張丘建在他的《算經》中提出了著名的「百錢買雞」問題：雞翁一，值錢五，雞母一，值錢三，雞雛三，值錢一，百錢買雞，問翁、母、雛各幾何？

意思是：公雞5文錢1只，母雞3文錢1只，小雞3只1文錢，要求100文錢買100隻雞，求公雞、母雞和小雞應該各買多少只？

其實這是一道不定方程問題，有兩個條件：一是用的錢數正好是100文；二是買雞的數量正好是100只。設買公雞、母雞和小雞分別為x、y、z只，則可列出一下方程：

x+y+z = 100

5x+3y+z/3 = 100

根據這兩個公式，通過計算機的窮舉演算法即可求得結果。

**一：

void buychicken()
} }}

以上的演算法並不是最佳的，深入分析，4只公雞值20文錢，3只小雞值1文錢，合起來雞數是7，錢數是21；而7只母雞的錢數也正好是21.如果少買7隻雞，就可以用這筆錢多買4值公雞和3只小雞。這樣，百錢還是百錢，百雞還是百雞。所以，只要求出乙個答案，根據這個規則，馬上就可以求出其他的答案出來。

設乙個引數看，則有：

x = 4k;

y = 25 - 7k;

z = 75 + 3k;

因為雞的數量x、y、z都只能是正數，所以滿足式子的k值只能是0、1、2、3.

**二：

void buychicken2()
}

其次，還有大家都非常熟悉的趣味數學題「雞兔同籠」問題。

問題的描述是：有若干只雞兔同在乙個籠子裡，從上面數，有35個頭；從下面數，有94隻腳。求籠子中有多少隻雞和多少只兔？

這個問題用窮舉法可以解決，設有雞x只，兔y只，則有方程：

x + y = 35;

2x + 4y = 94;

**三：

void chook_rabbit()
}}

仔細分析，還有更簡單的方法，用奧數中的知識：

將每個頭都按2只算（則認為都是雞），則剩下的足就是兔子的另兩隻，則只需要將剩下的足除以2即可得到兔子的數量。

**四：

void chook_rabbit1()

最後再來看一道著名的「五家共井」問題。

問題的描述：今有五家共井，甲二綆不足如乙一綆，乙三綆不足如丙一綆，丙四綆不足如丁一綆，丁五綆不足如戊一綆，戊六綆不足如甲一綆。如各得所不足一綆，皆逮。問井深、綆長幾何？（題中：「綆」是汲水桶上的繩索，「逮」是到達井底水面的意思。）

意思是：現在有5家共用一口井，甲、乙、丙、丁、戊5家各有一條繩子打水，設各家繩子的長度分別為len1,len2,len3,len4,len5,井深len，則以上條件可以表示為下面的方程：

len1*2+len2 = len;

len2*3+len3 = len;

len3*4+len4 = len;

len4*5+len5 = len;

len5*6+len1 = len;

求井的深度和各家打水所用繩子的長度。

根據上面的方程可得到一下算式：

len1*2 + len2 = len2*3+len3 = len3*4+len4 = len4*5 +len5 = len5*6+len1

由以上算式可以推出：

len1 = len2 + len3/2

len2 = len3 + len4/3

len3 = len4 + len5/4

len4 = len5 + len1/4

根據以上列出的這些算式，可列舉各種情況，最後得出結果。

**五：

void length()
} len = 2*len1 + len2;
printf("各家井繩長度分別為：\n");
printf("甲：%d\n",len1);
printf("乙：%d\n",len2);
printf("丙：%d\n",len3);
printf("丁：%d\n",len4);
printf("戊：%d\n",len5);
printf("井深：%d\n",len);
}

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