設向量 ab→
\overrightarrow
ab的始點 a 和終點 b 在軸 l 上的射影分別為點 a′a'
a′和 b′b'
b′，那麼向量 a′b
′→\overrightarrow
a′b′
叫做向量 ab→
\overrightarrow
ab在軸 l 上的射影向量，記做 射影向量la
b→\text_\overrightarrow
射影向量l
ab。如果在軸上取與軸同方向的單位向量e，那麼由 射影向量la
b→=a
′b′→
=xe\text_\overrightarrow = \overrightarrow = x\mathbf
射影向量l
ab=a
′b′=
xe，這裡的 x 叫做向量 ab→
\overrightarrow
ab在軸 l 上的射影，記做 射影la
b→=x
\text_\overrightarrow = x
射影lab=
x。也可以把 射影向量la
b→\text_\overrightarrow
射影向量l
ab和 射影la
b→\text_\overrightarrow
射影la
b分別寫成 射影向量ea
b→\text_}\overrightarrow
射影向量e
ab和 射影ea
b→\text_}\overrightarrow
射影ea
b。很容易得出 射影向量ea
b→=(
射影eab
→)e\text_}\overrightarrow = (\text_}\overrightarrow)\mathbf
射影向量e
ab=(
射影ea
b)e。
我們將向量a和b的夾角記做 ∠(a
,b)\angle(\mathbf, \mathbf)
∠(a,b)
， 夾角大小的範圍是 0≤∠
(a,b
)≤π0 \leq \angle(\mathbf, \mathbf) \leq \pi
0≤∠(a,
b)≤π
。證明： 當 θ=π
2\theta = \frac
θ=2π
，顯然成立。
當 θ ≠π
2\theta \neq \frac
θ=2π
時，可以將 ab→
\overrightarrow
ab平移使得 a′b
1→=a
b→\overrightarrow} = \overrightarrow
a′b1
=ab，再分 0≤θ
0 \leq \theta < \frac
0≤θ<2π
, π
2π\frac < \theta \leq \pi2π
π 兩種情況討論即可。
兩個向量a和b的模和它們夾角的余弦的乘積叫做向量a和b的數量積（也稱內積），記做 a⋅b
\mathbf \cdot \mathbf
a⋅b 或 a
b\mathbf
ab。a⋅b
=∣a∣
∣b∣cos∠
(a,b
)\mathbf\cdot \mathbf = |\mathbf||\mathbf|\cos\angle(\mathbf,\mathbf)
a⋅b=∣a
∣∣b∣
cos∠(a
,b)根據射影的定義，我們有
a ⋅b
=∣a∣
射影ab=
∣b∣射影
ba\mathbf\cdot\mathbf = |\mathbf|\text_}\mathbf = |\mathbf|\text_}\mathbf
a⋅b=∣a
∣射影a
b=∣b
∣射影b
a特別地，當 b=e
\mathbf = \mathbf
b=e，有
a e=
射影ea\mathbf\mathbf = \text_}\mathbf
ae=射影e
a我們把數量積 a
a\mathbf\mathbf
aa叫做 a
\mathbf
a 的數量平方，並記作 a
2\mathbf^
a2。根據 cos(
∠(a,
b))=
0\cos(\angle(\mathbf,\mathbf)) = 0
cos(∠(
a,b)
)=0, 很容易得出上述結論。
設 a =x
1i+y
1j+z
1k,b
=x2i
+y2j
+z2k
\mathbf = x_\mathbf + y_\mathbf + z_\mathbf,\quad \mathbf = x_\mathbf + y_\mathbf + z_\mathbf
a=x1i
+y1
j+z1
k,b
=x2
i+y2
j+z
2k，那麼
a b=
x1x2
+y1y
2+z1
z2\mathbf\mathbf = x_x_ + y_y_ + z_z_
ab=x1
x2+
y1y
2+z
1z2
將公式展開乘出即得出此結論。
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