從斐波那契數列開始，0基礎入門遞迴和動態規劃

reference：

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告別動態規劃，連刷40道動規演算法題，我總結了動規的套路

動態規劃 **理解

個人認為，遞迴和動態規劃，尤其能體現計算機程式設計的魅力。

使用斐波那契數列引入了動態規劃的概念

斐波那契數列的是這樣乙個數列：1、1、2、3、5、8、13、21、34….，即第一項 f(1) = 1,第二項 f(2) = 1……,第n 專案為 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。求第 n 項的值是多少。

例如上述的斐波那契數列，他的」規律「就是f(n) = f(n-1) + f(n-2)。

表示如下：：

f (n

)=1 & \text\\ f(n-1) + f(n-2)& \text \end

f(n)

=二、找到「回歸」條件，也就是函式的結束條件。

public

intfiboseq
(int n)
}

public

intfiboseq
(int n)
// n的傳遞規律
return
fiboseq
(n-1)+
fiboseq
(n-2);
}

現在我們是第n只小雞，我們不知道我們應該生多少隻蛋，於是我去問前面兩隻雞n-1和n-2

return

fiboseq
(n-1)+
fiboseq
(n-2
);

進入到

fiboseq

(n-1)+
fiboseq
(n-2
);

fiboseq

(n-1
)：//第n-1只小雞去問自己前面的第(n-1)-1只小雞和第(n-1)-2只小雞
return
fiboseq
(（n-
1）-1)+
fiboseq
(（n-
1）-2);
//第n-2只小雞去問自己前面的第(n-2)-1只小雞和第(n-2)-2只小雞
fiboseq
(n-2
)：return
fiboseq
(（n-
2）-1)+
fiboseq
(（n-
2）-2
);

fiboseq(2

):public
intfiboseq
(int n)
。。。}
fiboseq(1
):public
intfiboseq
(int n=2)
。。。}

由此可見程式設計是多麼的神奇，如此複雜的一層一層向下尋找，又最後一層一層的向上回傳，用寥寥幾行**就可以表示。

同時，我們也可以總結出，當資料向下層尋找的時候若規律相同，即可以無限地呼叫起自己所在的函式的時候，就可以用遞迴。

以n=8為例，上面的函式可以簡化為下面的模型：

在這裡插入描述

此時的1⃣️號?和2⃣️號?內心os：你們這群雞崽子能不能記點事兒啊？比如3⃣️號?，你來問自己生了多少蛋問了七次，牛教三次都知道打轉呢！（此段責罵的reference是我的媽媽）。

但是這時候的3⃣️號?內心非常的委屈：可是人家只是乙隻雞，記不住那麼多事情嘛。所以，不如我把我生了多少隻雞寫下來，方便四號檢視，四號之後是五號。。。這樣我就只用問兩個雞祖宗一次，就不會被罵啦！

於是乎，就有了「動態規劃」，與「遞迴」的「自上而下」不同，「動態規劃」是「自下而上的」。在函式裡，我們用for迴圈，來實現n的向上傳遞。

public

intfiboseq
(int n)
int[
] dp =
newint
[n+1];
//設定乙個快取空間
//dp[0] = 0;
dp[1]
=1; dp[2]
=2;// 從三號雞開始往上遞送訊息
for(
int m=
3, m<=n; m++
)return dp[n]
;}

另外，我們還發現，直接分析遞迴結構，是假設更小的子問題已經解決給出的實現，思考的路徑是「自頂向下」。但有的時候，「自底向上」的思考路徑往往更直接，這就是「動態規劃」，我們是真正地解決了更小規模的問題，在處理更大規模的問題的時候，直接使用了更小規模問題的結果。

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