不等式性質使用中的易錯題

求二元函式的和差的取值範圍或者積商的取值範圍。

已知\(-1，\(2，則\(x-y\)的取值範圍是\((-4,2)\)；\(3x+2y\)的取值範圍是\((1,18)\)；

已知實數\(a\in (1，3)\)，\(b\in (\cfrac，\cfrac)\)，則\(\cfrac\)的取值範圍是\((4,24)\)

分析：\(4

已知二元函式的和差的範圍，求其和差的範圍；

【法1：錯解】由\(\begin1\leq f(-1)\leq 2\\2\leq f(1)\leq 4\end\)得到\(\begin1\leq a-b \leq 2&①\\2\leq a+b \leq 4&②\end\)，

利用不等式的性質，將①②式相加減，得到\(\cfrac\leq a \leq 3，0\leq b \leq \cfrac\)，

所以\(6 \leq 4a \leq 12，-3\leq -2b \leq 0\)，所以\(3 \leq 4a-2b \leq 12\)，

故$ 3 \leq f(-2)=4a-2b \leq 12$

錯因分析：由於\(\left\\\\end\right.\)是\(a+c>b+d\)的充分不必要條件，故逆向推理不成立；

【錯因分析】以上的解法打破了\(a，b\)取值的內在聯絡，它們的範圍會發生變化，如由\(\cfrac\leq a \leq 3\)，\(0\leq b \leq \cfrac\)，當我們取\(a=\cfrac\)，\(b=\cfrac\)時，很明顯\(a-b=0，a-b\notin [1，2]\)，故只要解法中沒有把\(a-b\)，\(a+b\)當成乙個整體對待的都是有問題的解法。

【法2】待定係數法，令\(f(-2)=mf(-1)+nf(1)\)，

則由\(f(-2)=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a-(m-n)b\)，

又由已知可知\(f(-2)=4a-2b\)

所以由對應係數相等得到方程\(\begin m+n=4 \\ m-n=2 \end\)

解得\(m=3，n=1\)

又由於\(1\leq f(-1)\leq 2\)，$ 2\leq f(1)\leq 4$，

所以\(3\leq 3\cdot f(-1)\leq 6\)，\(2\leq 1\cdot f(1)\leq 4\)，

故\(5\leq 3\cdot f(-1)+1\cdot f(1)\leq 10\)，

即\(5\leq f(-2)=4a-2b \leq 10\)。

【法3】：方程組法

由已知有\(\begin f(-1)=a-b \\ f(\,\,\,\,1)=a+b \end\)，

解得\(\begin a=\cfrac\cdot [f(-1)+f(1)] \\ b=\cfrac\cdot [f(1)- f(-1)] \end\)

所以\(f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)\)，

又由於\(1\leq f(-1)\leq 2\)，\(2\leq f(1)\leq 4\)，

所以\(3\leq 3\cdot f(-1)\leq 6\)，\(2\leq 1\cdot f(1)\leq 4\)，

故\(5\leq 3\cdot f(-1)+1\cdot f(1)\leq 10\)，

即\(5\leq f(-2)=4a-2b \leq 10\)

【法4】：線性規劃法

用線性規劃分析錯誤原因：

解法1中得到單個的\(a、b\)的取值範圍是\(\cfrac\leq a \leq 3\)和\(0\leq b \leq \cfrac\)，

由此作圖得到的是矩形\(efgh\)，由條件\(1\leq f(-1)\leq 2\)，\(2\leq f(1)\leq 4\)得到的是矩形\(abcd\)，

很顯然兩個矩形不一樣，那麼那個圖形是對的？

我們可以看到在\(\delta adh\)內部的點，由線性規劃知識可知並不滿足條件\(1\leq a-b\leq 2\)，\(2\leq a+b\leq 4\)，

因此得到單個的\(a、b\)的取值範圍是\(\cfrac\leq a \leq 3\)和\(0\leq b \leq \cfrac\)是錯的，顯然擴大了單個\(a、b\)的取值範圍。

正解分析：由線性規劃可知，

當直線\(l_0：4x-2y=0\)經過點\(a(\cfrac，\cfrac)\)時，

\(z=4x-2y\)有最小值，且\(z_=4\times\cfrac-2\times\cfrac=5\)；

當直線\(l_0：4x-2y=0\)經過點\(c(3，1)\)時，

\(z=4x-2y\)有最大值，且\(z_=4\times3-2\times1=10\)；

已知二元函式的積商的範圍，求其積商的範圍；

【法1】：模擬上例中的法3

\(\because 1\leq lgxy \leq 2，\therefore 10\leq xy \leq 10^2，\)

又\(\because 3\leq lg\cfrac \leq 4，\therefore 10^3\leq \cfrac \leq 10^4，\)

\(10^3\leq (xy)^3 \leq 10^6，10^3\leq \cfrac \leq 10^4，\)

\(10^6\leq x^3\cdot y^3 \cdot \cfrac =x^4\cdot y^2 \leq 10^，\)

\(6\leq lg(x^4y^2) \leq 10\) ;

【法2】：模擬上例中的法2

\(1\leq lgxy \leq 2\)，\(3\leq lg\cfrac \leq 4，\)

\(1\leq lgx+lgy \leq 2\)，\(3\leq lgx-lgy \leq 4，\)

仿照上例中的解法2，求得恰當的係數，可得

\(3\leq 3lgx+3lgy \leq 6\)，\(3\leq lgx-lgy \leq 4，\)

所以同向不等式相加得到

\(6\leq 3lgx+3lgy+lgx-lgy \leq 10\)

即\(6\leq 4lgx+2lgy=lg(x^4y^2) \leq 10\)

\(6\leq lg(x^4y^2) \leq 10\)

【解後反思】之所以將這兩個例題放在一起，是因為例1中涉及到兩個變數的加減運算，而例2中涉及兩個變數的乘除運算。

已知\(-\cfrac

分析：①已知條件等價轉化為不等式組\(\left\

這樣得到\(-\pi

②仿上，先轉化得到\(-\pi

兩個同向不等式相加，得到\(-\cfrac<2\alpha-\beta

方程\(x^2+(m-1)x+m^2-2=0\)的兩個根都大於1，求\(m\)的取值範圍；

法1：[錯解]由題知\(\begin \delta \ge 0 \\ x_1+x_2>2 \\ x_1\cdot x_2>1 \end\)，錯在不等式性質的應用上，

同向不等式的可加性：\(\begina>b\\c>d\end\)是\(a+c>b+d\)的充分不必要條件，

也就是說由\(\beginx_1+x_2>2\\x_1\cdot x_2>1\end\)並不能推出本題想要的結果\(\beginx_1>1\\x_2>1\end\)，

故這樣的解集必然是錯誤的。

不過我們注意到\(\begina+b>0\\ab>0\end\)等價於\(\begina>0\\b>0\end\)，

那麼把上面的解法稍微做個改進就得到法2：

法2： 分析，變形使用不等式的性質，得到\(\begin \delta \ge 0 \\ x_1+x_2>2 \\ (x_1-1)\cdot (x_2-1)>0 \end\)

法3： 分析，有對應的函式影象轉化得到不等式組，\(\begin \delta \ge 0 \\ -\cfrac>1 \\ f(1)>0 \end\)

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