摘要：本文將給出均值不等式的簡要證明並推導出其積分形式。
先給出幾個定義。
其中則有平均值不等式：
用語言描述即是調和平均數不超過幾何平均數，幾何平均數不超過算數平均數，算數平均數不超過平方平均數。
其積分形式如下：
則有：均值不等式的證明方法有很多，可以使用數學歸納法、柯西不等式法、拉格朗日乘數法、琴生不等式法、排序不等式法等。
其二維形式，就是最常見的基本不等式：
其推導只需看下面兩個不證自明的圖形即可：
我們只講乙個課本中很少講到的柯西歸納法來證明算術-幾何平均值不等式。
下面我們著重講解使用定積分定義法來證明其積分形式。
證明：先證
因為所以
所以由定積分定義，即：
再證因為
兩邊取對數：
所以由定積分定義：
即：同理可證
均值不等式的積分形式證畢。
在最後，我們順便說一下柯西不等式的積分形式：
證明與上面的方法如出一轍。
總結：均值不等式在不等式的證明上應用十分廣泛，本文給出了其積分形式，並應用了一種用定積分定義的方式來證明積分形式的不等式，這種方法可以推廣到一般形式，即可以通過已知的離散形式的不等式來證明與其相似形式的定積分不等式，反之亦然。
詹森不等式到底是什麼？
詹森不等式以丹麥數學家約翰 詹森 johan jensen 命名。它給出積分的凸函式值和凸函式的積分值間的關係。jensen不等式是關於凸性 convexity 的不等式。凸性是非常好的性質，在最優化問題裡面，線性和非線性不是本質的區別，只有凸性才是。如果最優化的函式是凸的，那麼區域性最優就意味著全...
均值不等式
題目 已知六稜錐 p abcdef 底面 abcdef 為正六邊形，點 p 在底面的射影為其中心，將該六稜錐沿六條側稜剪開，使六個側面和底面展開在同一平面上，若展開後點 p 在該平面上對應的六個點全部落在乙個半徑為 5 的圓上，則當正六邊形 abcdef 的邊長變化時，所得六稜錐體積的最大值為 un...
不等號屬於不等式嗎 定積分不等式
無論什麼題，第一步都是確定該題屬於什麼型別 對於不定積分不等式還是比較容易辨別的，就是會有積分符號，還有一種隱藏稍微深一點的就是無窮項的和，還有就是有不等號。對於這類題其實歸根結底就一種解題思路，就是統一格式，該思路就是要麼去掉積分符號，要麼把沒積分符號的加上積分符號，然後合併成只有乙個積分符號，利...