設 f(
x)是閉區間 [0
,1] 上滿足 f(
0)=f
(1)=
0 的連續可微函式，求證不等式 (∫
10f(
x)dx
)2≤1
12∫10
|f′(
x)|2
dx,
並且等號成立當且僅當 f(
x)=a
x(1−
x), 其中
a 是常數。
證明由 newton-leibniz 公式， f(
x)=∫
x0f′
(t)d
t,f(
x)=∫
x1f′
(t)d
t.由分部積分公式 ∫1
0f(x
)dx=
∫10∫
x0f′
(t)d
tdx=
x∫x0
f′(t
)dt∣
∣∣10
−∫10
xf′(
x)dx
=∫10
(1−x
)f′(
x)dx
.(1)
∫10f(x)
dx=∫
10∫x
1f′(
t)dt
dx=x
∫x1f
′(t)
dt∣∣
∣10−
∫10x
f′(x
)dx=
−∫10
xf′(
x)dx
.(2)
將 (1)(2) 兩式相加可得 ∫1
0f(x
)dx=
12∫1
0(1−
2x)f
′(x)
dx.
因此由 cauchy-schwarz 不等式可得 (∫
10f(
x)dx
)2=1
4(∫1
0(1−
2x)f
′(x)
dx)2
≤14∫
10(1
−2x)
2dx⋅
∫10|
f′(x
)|2d
x=112
∫10|
f′(x
)|2d
x.由 cauchy-schwarz 不等式的等號成立條件可知，上式等號成立當且僅當 f′
(x)=
a(1−
2x) , 即 f(
x)=a
x(1−
x)+c
, 又由於 f(
0)=0
, 因此 c=
0,故等號成立當且僅當 f(
x)=a
x(1−
x), 其中
a 是常數。
□後記
這種和 f(
x),f
′(x)
有關的積分不等式往往要利用 newton-leibniz 公式和積分形式的 cauchy-schwarz 不等式。
最開始遇到這道題的時候，沒有找到合適的方法使最終結果出現 112
, 苦苦思索幾天仍未有所收穫，終於在今天晚上突然聯想到 cauchy-schwarz 不等式的等號成立條件，要證的是等號成立當且僅當 f(
x)=a
x(1−
x), 也就是當且僅當 f′
(x)=
a(1−
2x) 。並且容易知道，∫1
0(1−
2x)2
dx=1
3 , 這與結果中的 112
已經有那麼一點接近了，這樣一來，如果能湊出 ∫1
0(1−
2x)f
′(x)
dx再利用 cauchy-schwarz 不等式，或許就能證出想要的結果。按照這樣的思路，利用題中的已知條件來嘗試湊出 ∫1
0(1−
2x)f
′(x)
dx，果然完美地證出了想要的結果。
以上的就是整個證明過程的想法，也是苦苦思考幾天的一點小小的靈感，故作此文，以記錄那靈感閃現的瞬間 :)
2016.12.10
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