學會網路流演算法後，我們要做的就是把問題轉化成網路流問題。
求二分圖最大匹配。
網路流建模要找到問題的關鍵特點，用連邊，流量（以及費用）把原問題轉化成網路流問題，包括最大流，最小割，費用流。
二分圖最大匹配的特點是每個點最多屬於一條匹配邊。這相當於是說，每個點只能流過一次。要求的是最大匹配，可以得出建模為：
最大流即為二分圖的最大匹配。
注意到這個解法中，我們實際上是把乙個匹配轉化成了1的流量，求出的最大流滿足每個點都只流過了一次，故符合匹配的定義。又因為是最大流，所以得到的是最大匹配。
#include#include#include#includeusing namespace std;
const int maxn=101;
const int inf=1e9+7;
const int maxm=1e4+1;
int que[maxn],d[maxn],ql,qr;
struct edge ;
struct graph
void add(int u,int v,int w) ;
h[u]=tot;
} bool bfs(int s,int t)
} return false;
} int dfs(int x,int t,int mx)
e[i].w-=tmp;
e[i^1].w+=tmp;
flow+=tmp;
mx-=tmp;
if (!mx) break;
} return flow;
} int maxflow(int s,int t)
return ret;
}} a;
int main()
對於有向圖\(g\)的閉合圖\(s\)是指乙個\(g\)的乙個子圖滿足不存在\((u,v),u\in s,v\notin s\)。
最大權閉合子圖問題是指，每個點有點權，有正有負，求乙個閉合子圖使得其中的點權值最大。
對於選擇問題，可以考慮能否使用割的方法，因為乙個割把整個圖分成了兩部分，即選和不選。
現有的網路流模型可以解決最小割問題（最大流最小割定理），所以可以想辦法把這個問題變成最小割問題。由於要使點權最大，那麼我們可以把乙個東西減去最小割，得到答案。
我們把負權點的權值取絕對值。我們要的最大權閉合圖的權值\(w=選擇的正權點權值和-選擇的負權點權值和\)。
設\(sum=所有正權點權值和\)，令\(c=sum-w=不選擇的正權點權值和+選擇的負權點權值和\)，這樣我們不僅就化解了負權問題，而且得到了乙個漂亮的表達：不選的正的權值和+選擇的負的權值絕對值和。如果由於\(w\)要最大，\(sum\)是一定的，而且有\(w=sum-c\)，所以我們只要令\(c\)最小即可。
建圖如下：
在這個圖上求最小割，一定不會割掉中間的邊。這是因為，割掉所有\((s,x)\)和\((y,t)\)必定是乙個合法的割。所以最小割一定小於這個值，所以不可能含有無限大。
所以這個割是乙個簡單割（所有割邊都直接連線\(s\)或\(t\)）。這個簡單割把圖分成了兩部分，\(s\)集和\(t\)集。我們看看\(s\)集包含的點是什麼。
\(s\)集中的點，必定是沒有割開\((s,x)\)的點和割開了\((y,t)\)的點。也就是說，這個最小割的值就是我們的\(c\)。
用總正權點和減去最小割就是答案啦。
這裡還要求輸出方案。我們要輸出的就是\(s\)集，也就是到最後\(s\)還可以到達的點，也就是dinic演算法中最後的層次圖。
#include#include#include#include#includeusing namespace std;
const int inf=1e9+7;
const int maxn=101;
const int maxm=1e4+1;
int read(int &x)
struct edge e[maxm<<3];
int h[maxn],tot=1;
void add(int u,int v,int w=0) ;
h[u]=tot;
} int que[maxn],ql,qr,d[maxn];
bool bfs(int s,int t)
} return false;
}int dfs(int x,int t,int mx)
e[i].w-=tmp;
e[i^1].w+=tmp;
flow+=tmp;
mx-=tmp;
if (!mx) break;
} return flow;
}int maxflow(int s,int t)
int a[maxn<<1];
int main() while (r);
} for (int i=n+1;i<=n+m;++i)
int ans=maxflow(s,t);
for (int i=1;i<=n;++i) if (d[i]) printf("%d ",i);
puts("");
for (int i=n+1;i<=n+m;++i) if (d[i]) printf("%d ",i-n);
puts("");
printf("%d\n",sum-ans);
return 0;
}
網路流 24 題
1 搭配飛行員 題意 n個飛行員，其中有m名飛行員是正駕駛員。飛機每架有兩個駕駛員，需乙個正駕駛員和乙個副駕駛員。由於種種原因，例如相互配合的問題，有些駕駛員不能在同一架飛機上飛行，問如何搭配駕駛員才能使出航的飛機最多。思路 裸二分圖匹配 最大流 題 版本一 網路流做法 引入源點s 0以及匯點t n...
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