網路流24題

本篇博文大多數全部都是口胡

目錄傳送門

將每乙個點轉換成為\(2^\)種狀態，之後暴力bfs即可

傳送門明顯的乙個二分圖匹配問題

如果是直接匈牙利，就沒有這麼多的問題

如果是網路流的話，看每一條邊是不是滿流

建乙個超級原點和超級匯點即可

傳送門跟孤島營救一樣的辦法，將每乙個點拆成\(2^n\)個點，表示當前的錯誤狀態數，

之後用\(dij\)硬跑最短路即可

傳送門每個點的最終狀態是一定的，所以我們可以很方便的得知每乙個點最終會丟失貨物或者得到貨物

如果是丟失貨物，那麼就讓超級原點連一條\((inf,0)\)的邊（流量&費用），

如果是得到貨物，那麼就讓這個點向超級匯點連一條\((inf,0)\)的邊

之後就是貨物在倉庫中的運送，只需要向\((i-1)和(i+1)\)連一條\((inf,1)\)的邊，跑最小費用最大流流，因為只有最大流才能保證所有的倉庫都滿足條件

傳送門分析一下問題，最關鍵的條件在於乙個點只能被\(k\)條邊覆蓋，

細想，我們並不關心線段的狀態，只關心乙個點的狀態，

先考慮被\(k\)條邊覆蓋，我們可以從原點連一條邊，流量限制為\(k\)，

之後再從這個點連向一條邊，流量為\(1\)，那麼問題就來了，一條邊如果不滿流怎麼辦？

那麼就換成從邊入手，由超級原點流向邊，再由邊連向\(l\)，再由 \(l\)連向\(l+1\)，最後從\(r\)出來，連向超級匯點，流量限制為\(1\)，這樣可以保證一定會讓所有被線段覆蓋到的點都由流量，考慮到乙個點最多被覆蓋\(k\)次，所以點和點之間的連邊的流量限制為\(k\)，這樣就可以滿足每乙個點最多覆蓋\(k\)次的條件，

然後就是長度的問題，長度的問題可以轉換為費用，原點連向邊，費用為\(len\)，流量為\(1\)，其他邊的費用自然就是\(0\)，最後跑乙個最大費用最大流

傳送門最容易想到的是匹配問題，除非你能用km直接秒掉

那麼之後就是效益的問題，在邊上增加權值就行了

然後就是最小費用最大流和最大費用最大流

傳送門正向不行反向來搞

選出的數和最大=所有數的和-未選出的數的和

因為這裡天生就已經分出了兩個集合（選出和為選出），也許可以嘗試將題目向割上面轉換

首先考慮題目中的限制條件，很容易就可以將點分成兩類，橫縱座標奇偶性相同和橫縱座標奇偶性不同，因為每一類的內部都不可能互相限制，相同的稱之為\(a\)，不同的稱之為\(b\)

那麼我們考慮的是，怎麼讓一條邊沒被刪除，與之相關聯（即不能選）的邊一定被刪除

那麼就從\(s\)連到\(a\)，\(b\)連到\(t\)，流量限制均為方格的權值，之後因為有一些點選了另一些點既不能選，那麼就連一條\(inf\)的邊，這些邊因為權值是\(inf\)，故不可能被割掉，如果兩條邊都不刪除，那麼就不滿足割的性質，所以兩條邊必有一條邊會被刪除

傳送門經典的插點問題

將每乙個點拆成\(k\)個點，表示汽車到這的時候還剩下多少油

然後你就可以dij了

如果從網路流的角度來考慮，每一條邊的流量均為\(1\)，因為不可能經過一條邊（單向）兩次

費用？分成三類，

座標減小，這個直接將邊附上費用即可

遇到油庫，向可以達到的\((v,k-1)\)這些點連向邊即可，同時要將原來的可以不加油過的邊刪去，因為是強制消費

建油庫，每個點（包含所有狀態）建乙個虛點就好了，流量\(1\)，費用\(c+a\)

之後就是最小費用最大流，注意應該要建乙個超級原點和乙個超級匯點，超級原點連向\((1,1)\)，\((n,n)\)連向超級匯點，流量限制均為\(1\)，因為只走一條路，費用當然是\(0\)

傳送門簡單的一道費用流的題目

貨物數量的限制就是原點到這個點流量的限制，需要貨物的限制就是這個點到匯點的流量限制，這兩種邊當然費用是\(0\)

之後倉庫向商店連邊\((inf,c_)\)，跑最小費用最大流即可（因為只有在最大流的情況下才能滿足所有的需要）

傳送門考慮到有正有負不好處理，那麼我們將其全部轉換為正

首先，答案的上界是知道的，也就是所有的實驗的資助

然後我們所需要的就是減去的資助+實驗器材的費用最小，嘗試向最小割上面轉換

因為實驗和實驗所對應的器材不能同時存在與同乙個集合中，所以是非此即彼的關係，從\(s\)連向所有實驗，流量為實驗的贊助，實驗連向器材，流量為\(inf\)，器材流向\(t\)，流量為器材的**，之後跑乙個最大流就可以求出最小的減少費用

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