微分學裡的中值定理

(羅爾中值定理)設函式$f(x)$在區間$[a,b]$上連續，在區間$(a,b)$上可微.若$f(a)=f(b)$,則在區間$(a,b)$的某點處$f'(x)=0$.即存在$\xi$,使得$a

$$\frac\leq 0$$

因此$$\lim_\frac\leq 0$$

還有$$\frac\geq 0$$

因此$$\lim_\frac\geq 0$$

由於$f$在$(a,b)$上可微，因此

$$\lim_\frac=\lim_\frac$$

因此$$\lim_\frac=0$$

當$\xi=a$或$\xi=b$時，可得$f(a)=f(b)$是$f$在$[a,b]$上的最大值.現在該怎麼辦呢？沒關係，現在咱不考慮$f$在$[a,b]$上的最大值了，而考慮$f$在$[a,b]$上的最小值(閉區間上的連續函式是有最小值的).然後仿照上面的證明照樣得證.因此羅爾中值定理得證.

注:羅爾定理的高維推廣是不成立的.即如下命題是不成立的.

設 $e$ 是 $\mathbf^n$ 的開集合,並且 $t:e\to \mathbf^m$ 是在$e$上的可微函式.$\forall x_1,x_2\in e$,若有 $f(x_1)=f(x_2)$,則存在 $k\in \$,使得 $f'(k)=0$.

微分中值定理:設函式$f(x)$在$[a,b]$上連續，在$(a,b)$上可微，則存在$\xi$,使得

$$\frac=f'(\xi),a

$$g(x)=f(x)-[\frac(x-b)+f(b)]$$

(這個函式之所以能構造出來，乃是圖象啟發的緣故)

易得$g(a)=g(b)=0$,根據羅爾中值定理，存在$a

得證.注1:我認為這種方法技巧性還是太強，我認為將來我要採取這樣一種方法，即不考慮xy平面上的函式，而考慮xy平面上的曲線來證明微分中指定理.我認為可導函式在旋轉一定角度之後會變成可導曲線.這一點留待將來驗證.(其實按這種想法走下去應該會得到柯西中值定理)

注2:微分中值定理的有限形式是：

若$a_1,\cdots,a_n$是有限個實數，則

$$\min\\leq\frac\leq \max\$$

微分中值定理的離散形式為

若$a_1,\cdots,a_n,\cdots$是可數個實數，則

$$\inf\^\}\leq\liminf_\frac\leq \limsup_\frac\leq\sup\^\}$$

柯西中值定理:設函式$f(x),g(x)$在區間$[a,b]$上連續，在區間$(a,b)$上可微，則存在$a

其中$g(a)\neq g(b)$,且$\forall t\in (a,b),g'(t)\neq 0$.

$$[f(a)-f(b)]g'(\xi)=[g(a)-g(b)]f'(\xi)$$

令$$p(x)=[f(a)-f(b)]g(x)-[g(a)-g(b)]f(x)$$

則易驗證

$$p(a)=p(b)$$

根據羅爾中值定理,可知存在$a

注3:柯西中值定理是微分中值定理的推廣，只要令$g(x)=x$就變成了微分中值定理.

注4:柯西中值定理也有其鮮明的幾何意義.

注5:我發現

$$p(a)=p(b)=

\begin

f(a)&g(a)\\

f(b)&g(b)

\end

$$我還發現

$$p(x)=

\begin

f(a)-f(b)&g(a)-g(b)\\

f(x)&g(x)

\end

$$我相信這裡二階行列式的出現不是偶然的.行列式的出現揭示了結構.

注6:推廣微分中指定理的有限形式，我們可以得到柯西中值定理的有限形式.

如圖，設點1的座標是$(a_1,b_1)$,點2的座標是$(a_2,b_2)$,點3的座標是$(a_3,b_3)$.則易得，在式子有意義的條件下，有

利用數學歸納法，可以將上式推廣.

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