任意給定正整數n，請問在小於等於n的正整數之中，有多少個與n構成互質關係？
比如說:
n=10 與n互質的數就有 : 1,3,7,9.
所以φ(10)=4;
n 需要被拆成諸如此類的形式:
其中 p 均為質數.
然後如圖,這就是尤拉函式的計算公式.
雖然公式會顯得比較簡單,但是尤拉函式公式需要一步一步去推導.
對此,我們需要分情況討論.
此時 φ(1)=1 . 因為 1 與任何數都互質 (包括自身) .
此時 φ(n)= n-1 ; 很顯然.
此時則 有如下公式 :
如何去思考這種情況呢 ？
易知,若 k=1 則 φ(n) = n-1;
那麼,若 k=2 則在原來的 n-1 的數列中 會多了乙個 k 與其不互質.
那麼也就是說,我當前這個序列中,與n互質的當且僅有 p 的倍數.
所以 p^k 中含有的 p 的倍數的個數(包括自己) 即為 p^k / p ,也就是 p^(k-1).
這個證明是整個公式的關鍵所在.
此時即 n 可以寫成
p1 x p2
此時我們則有公式 :
φ(n) = φ(p1 x p2) = φ(p1) x φ(p2)
此時我們是怎麼推導出來的呢 ?
此時可以知道只有那些既滿足 p1a
'>
與其互質且滿足 p2b
'>
與其互質的數滿足條件.
a'>b
'>根據乘法原理.這樣的數可以互相組合.那麼就有 φ(a
)⋅φ(
b)'>
φ(a)⋅φ(b) 個.
a'>b
'>φ(a
)⋅φ(
b)'>引理 :
任意乙個大於 1 的正整數, 都可以寫成諸如 p1^k1 x p2^k2 ... pi^ki 的形式.a'>b
'>φ(a
)⋅φ(
b)'>然後根據 2.4 我們有:
a'>b
'>φ(a
)⋅φ(
b)'>
再根據 2.3 我們有:
於是再化簡,我們便有了 1.1 開頭的式子.
這裡就有一道,是比較裸的尤拉函式.不過要看的出來才行.
本蒟蒻也有題解在此.
這一篇只介紹了尤拉函式及尤拉函式的求法.
日後更多的性質及運用蒟蒻博主會填坑的.
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