次小生成樹

我們已經熟知了求最小生成樹的方法，用kruskal,prim演算法都可以搞

那麼我們如何求次小生成樹呢？

這裡次小生成樹的定義是

邊權和嚴格大於最小生成樹的邊權和最小的生成樹

那麼我們首先求出最小生成樹

接下來，乙個比較顯然的思路是

列舉每一條未加入最小生成樹的邊，加入最小生成樹，同時在最小生成樹中刪除邊權最大的邊

如果你想到了這裡並寫出了**，那麼恭喜你

你在裡成功還有一步之遙成功掉進坑里了

比如下面的例子

藍邊表示最小生成樹中的邊，黃邊表示新加入的邊

在這種情況下，如果僅僅記錄最大值的話，得到的答案一定是錯的

所以我們還要記錄嚴格小於最大值的最大值

當產生衝突的時候我們需要刪除嚴格小於最大值的最大值

但是這樣效率太低了，每一次查詢都是\(o(n)\)的

有沒有更好的方法呢？

不要忘了，最小生成樹它是一棵樹呀

樹的鏈上最大最小值操作，你想到了什麼？

沒錯！樹上倍增

我們在倍增的過程中記錄下最大值和嚴格小於最大值的最大值

這樣每次查詢的複雜度就變成\(log(n)\)啦

整個演算法的流程大概是

求出最小生成樹

構造出倍增陣列

每次樹上倍增查詢

用kruskal是\(o(m\log m+q\log (n))\)

用prim是\(o(n\log n+q\log (n))\)

q為詢問次數

放一道裸題

// luogu-judger-enable-o2

#include#include#include#include#include#define int long long 
using namespace std;
const int maxn=400001;
const int inf=1e15+10;
inline int read()
while(c>='0'&&c<='9')
return x*f;
}struct edge
e[maxn];
int enum=1;
void add(int x,int y,int z)
struct node
edge[maxn];
int head[maxn];
int num=1;
int n,m;
int fa[maxn],vis[maxn],sum;
int deep[maxn],f[maxn][21],maxx[maxn][21],minx[maxn][21];
void addedge(int x,int y,int z)
int find(int x)
int unionn(int x,int y)
int comp(const edge &a,const edge &b)
}}int lca(int x,int y)
int findmax(int x,int lca,int val)
}return ans;
}void work()
printf("%lld",ans);
}main()
kruskal();
deep[1]=1;
dfs(1,0);
pre();
work();
return 0; 
}

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