尤拉道路與尤拉迴路

尤拉道路與尤拉迴路

尤拉道路：通過圖g中每條邊一次且僅一次的道路稱作該圖的尤拉道路。

尤拉迴路：通過圖g中每條邊一次且僅一次的迴路稱作該圖的尤拉迴路。

尤拉圖：存在尤拉迴路的圖稱為尤拉圖。

尤拉在2023年給出了尤拉道路/迴路存在的必要條件，在2023年希爾霍爾策首次給出了刻畫尤拉圖的充要條件。

定理

(a)無向圖g是尤拉圖（存在尤拉迴路）當且僅當g是連通的且所有頂點都是偶數度

(b)無向圖g存在尤拉道路當且僅當g是連通的且奇數度頂點不超過2個

下面證明(a):

1、(必要性)如果是尤拉圖，從乙個起點出發，經過每個頂點必定是一進一出，再回到起點，這樣所有的點都是偶數度

2、(充分性)從任一點出發，構造g的一條簡單迴路c(想想為什麼一定可以)，如果c已經包含所有邊，那g就是尤拉圖；

若c不是g的迴路，則從g中刪去c的各邊和孤立頂點（如果存在），得到g1，顯然g1中個頂點的度還是偶數。原圖是連通的，g1和c必然存在公共頂點u。從u出發，在g1中得到迴路c1。將c和c1連線起來得到包含邊數比原來更多的g的一條簡單迴路。由於邊是有限的，這個過程一定會結束。最後得到包含所有邊的迴路，就是尤拉迴路。

下面證明(b):

在(a)的基礎上簡單證明

首先，易知，奇數度頂點不超過只能是0個或2個（握手定理保證不可能存在奇數個奇頂點）。奇數度頂點為0就是情況(a)

若有兩個奇數度頂點，我們認為地在之間新增一條虛擬的邊，這個每個頂點都是偶數度了，所以就存在尤拉迴路。而這個尤拉迴路一定包含我們虛擬的邊，把虛擬的邊刪去，就得到包含圖中所有邊的尤拉道路。必要性證明略。

推廣到有向圖

有向圖存在尤拉道路的兩個條件：

1、最多只能有兩個點的入度不等於出度，而且必須是其中乙個點的出度且比入度大1（把它作為起點），另乙個的入度比出度大1（把它作為終點）。

2、在忽略邊的方向後，圖必須是連通的。

尤拉道路和尤拉迴路

尤拉通路 通過圖中每條邊且只通過一次，並且經過每一頂點的通路 尤拉迴路 通過圖中每條邊且只通過一次，並且經過每一頂點的迴路 有向圖的基圖 忽略有向圖所有邊的方向，得到的無向圖稱為該有向圖的基圖。無向圖設g是連通無向圖，則稱經過g的每條邊一次並且僅一次的路徑為尤拉通路 如果尤拉通路是迴路 起點和終點是...

尤拉道路和尤拉迴路

尤拉道路 能否從無向圖中的乙個節點出發走出一條道路，每條邊恰好經過一次 尤拉迴路 在尤拉道路的基礎上要回到原點 不難發現在尤拉道路中，除了起點和終點外，其他點的進出次數應該相等 換句話說除了起點和終點外，其他點的度數應該是偶數 則如果乙個圖是聯通的，且最多只有兩個奇點，則一定存在尤拉道路 如果奇點不...

尤拉迴路與尤拉路徑

若圖g中存在這樣一條路徑，從某個頂點出發，使得它恰通過g中每條邊一次 通過每乙個頂點可以多次 則稱該路徑為尤拉路徑。若該路徑是乙個圈 回到起點 則稱為尤拉 euler 迴路。尤拉迴路與尤拉路徑的充要條件 1 無向圖存在尤拉迴路的充要條件 乙個無向圖存在尤拉迴路，當且僅當該圖所有頂點度數都為偶數,且該...