三角恒等變換是高中的乙個重要的知識，我是在預習時通過自己的方法推導了一遍，個人認為，這樣可以加深對其的理解。本文同時也作為一篇學習筆記。
差角的余弦公式是三角恒等變換的一系列公式的基礎，推導出它，就為接下來的推導鋪平了道路。這裡使用向量，而不是普通的幾何方法。以下為推導過程。
設在平面直角座標系\(xoy\)中，有角\(\alpha , \beta\)，其始邊均與\(ox\)重合。
設\(\overrightarrow=(\cos\alpha,\sin\alpha),\overrightarrow=(\cos\beta,\sin\beta),|\theta|=<\overrightarrow,\overrightarrow>\)
\(\forall \alpha,\beta\in \mathbb,\alpha=\beta+\theta+2k\pi\)。
所以對於任意的\(\alpha\)和\(\beta\)，都有\(\alpha-\beta=2k\pi+\theta,k\in\mathbb\)。
所以\[\cos(\alpha-\beta)=\cos(2k\pi+\theta)=\cos\theta,k\in\mathbb
\]所以
\[\begin
\cos(\alpha-\beta)&=\frac \cdot \overrightarrow}||\overrightarrow|} \\
&=\frac \alpha+\sin^ \alpha)(\cos^ \beta+\sin^ \beta)} \\
&= \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta
\end\]即
\[\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta
\]可以根據\(c_\)，得到\(c_\)（根據誘導公式\(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\)和\(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\)得到）。以下為推導過程。
根據$c_$，易得
$$\begin
\cos(\alpha+\beta)&=\cos[\alpha-(-\beta)] \\
&=\cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta) \\
&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \\
\end
$$總結一下，和與差的余弦公式可以寫成這樣：
\[c_:\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta
\]根據誘導公式\(\cos(\frac-\alpha)=\sin\alpha\)，即可進行轉化。
\[\begin
\sin(\alpha-\beta)&=\cos[(\frac-\alpha)+\beta] \\
&=\cos(\frac-\alpha)\cos\beta-\sin(\frac-\alpha)\sin\beta \\
&=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta \\
\sin(\alpha+\beta)&=\sin[\alpha-(-\beta)] \\
&=\sin\alpha\cos(-\beta)-cos\alpha\sin(-\beta) \\
&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \\
\end
\]總結一下，可以寫成：
\[s_:\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta
\]根據商數關係，即\(\tan\alpha=\frac\)，再利用之前推導的公式，就可以推導了。
\[\begin
\tan(\alpha+\beta)&=\frac \\
&=\frac \\
&=\frac}} \\
&=\frac \\
\tan(\alpha-\beta)&=\tan[\alpha-(-\beta)] \\
&=\frac \\
&=\frac \\
\end
\]所以
\[t_:\tan(\alpha\pm\beta)=\frac
\]
在本文中，倍角特指二倍角，其他的\(n\)倍角中的\(n\)不能省略。其實很簡單，根據前面的和角的公式，把\(2\alpha\)用\(\alpha+\alpha\)代入即可。
\[\begin
\sin 2\alpha&=\sin(\alpha+\alpha) \\
&=\sin\alpha\cos\alpha+\sin\alpha\cos\alpha \\
&=2\sin\alpha\cos\alpha \\
\cos 2\alpha&=\cos(\alpha+\alpha) \\
&=\cos\alpha\cos\alpha-\sin\alpha\sin\alpha \\
&=\cos^ \alpha-\sin^ \alpha \\
\tan 2\alpha&=\tan(\alpha+\alpha) \\
&=\frac \\
&=\frac \alpha} \\
\end
\]特別的，倍角的余弦公式還可以轉化為僅用乙個函式名表示：
\[\begin
\cos 2\alpha&=\cos^ \alpha-\sin^ \alpha \\
&=\cos^ \alpha-1+\cos^ \alpha \\
&=2\cos^ \alpha-1 \\
\cos 2\alpha&=\cos^ \alpha-\sin^ \alpha \\
&=1-\sin^ \alpha-\sin^ \alpha \\
&=1-2\sin^ \alpha \\
\end
\]這些公式可以用乙個**概括：
三角函式
\(\alpha\pm\beta\)
\(2\alpha\)
\(\sin\)
\(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\)
\(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)
\(\cos\)
\(\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\)
\(\cos 2\alpha=\cos^ \alpha-\sin^ \alpha \\ =2\cos^ \alpha-1\\ =1-2\sin^ \alpha\)
\(\tan\)
\(\tan(\alpha\pm\beta)=\frac\)
\(\tan 2\alpha=\frac \alpha}\)
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