多項式學習筆記1 拉格朗日插值定理

拉格朗日插值法是以法國18世紀數學家約瑟夫·拉格朗日命名的一種多項式插值方法。

給出 n 個點 (xi,yi)（保證 xi 互不相同），要求找出乙個過所有點的多項式函式 f(x)。

這時候就可以考慮用拉格朗日插值定理了

顯然對於每個點，我們嘗試找出乙個函式 fi(x)，使得 fi(xi) = yi， 並且對於其他的所有橫座標 xj(j!=i) 有 fi(xj) = 0。那麼把 n 個 fi(x) 加起來就能得到要求的函式 f(x) 了

可以推出式子：

時間複雜度 o(n^2)

#include#define ll long long

using
namespace
std;
inline ll read()
while(ch
0'||ch>'9'
); 
dowhile(ch>='
0'&&ch<='9'
); 
return f*x;
}const
int maxn = 2000 + 10
;const ll mod = 998244353
;inline ll pow(ll a,ll b)
return
ans;
}inline ll inv(ll a)
ll n,k;
ll x[maxn],y[maxn];
ll ans;
intmain()
ans = (ans + (res1 * inv(res2) % mod)%mod) %mod;
}cout 
<< ans <
}

拉格朗日插值法的公式結構整齊緊湊，在理論分析中十分方便，然而在計算中，當插值點增加或減少乙個時，所對應的基本多項式就需要全部重新計算，

於是整個公式都會變化，非常繁瑣。這時可以用重心拉格朗日插值法

其中 g =

然後另 ti =

當增加乙個點時直接增加ti即可

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