動態規劃幾類例題的筆記

蒟蒻亂寫一通關於動態規劃幾類問題的筆記，可能會有錯誤之處，歡迎指正。

一. 01揹包問題

關於這個問題，我之前已經寫了不太全面的（比較扯淡的）筆記，就不複述了。

傳送門：揹包問題學習筆記

補充一下除了01揹包、完全揹包、多重揹包外，還有乙個超大揹包問題值得了解。

二. 最長上公升子串行問題（lis）

推薦題解：動態規劃——最長上公升子串行問題

題目不贅述了，lis就是最長上公升子串行。簡單來說，就是在一串給定的數列a[n]中取出一些數（未必要連續），讓它們能單調上公升，並且這個數列要最長。

舉個例子，對於長度為10的數列「1，9，11，2，10，7，8，9，13，6」，它的lis就是「1，2，7，8，9，13」，長度為6。

對於這個問題，有兩種演算法，複雜度分別為o(n2)和o(nlogn)。雖然我們發現o(n2)的演算法是無法ac洛谷的lis板子題的，但是o(n2)的演算法思想仍然有助於我們理解動態規劃。

o(n2)的經典演算法：

根據動態規劃把大問題拆成小問題，分段求解的思路，我們宣告乙個陣列f[maxn]，f[i]表示從1到i中，以a[i]結尾的最長上公升子串行的長度。初始時f[i]=1,i∈[1,n]。（初始值其實就是這個序列中只有a[i]時的序列長度，顯然為1）。

可以寫出狀態轉移方程：f[i]=max, j∈[1,i-1]且a[j]

怎麼理解這個方程呢？就是說，當我們已經處理完了f[i-1]，需要求f[i]時，只需要遍歷一遍a[1…i-1]，找到所有能成為a[i]前驅的數a[j]（即a[i]>a[j]），然後在所有能成為前驅的a[j]中找到f[j]最大的那個就可以了。如果還不理解，可以嘗試直接看**。

因為**是寫出來便於理解的，我就不寫暫存器內聯快速讀入之類花裡胡哨的東西了嘻嘻嘻。

#include using
namespace
std;
const
int maxn=100000
;int n,a[maxn+5],f[maxn+5
];int
result;
intmain()
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j)
if (a[i]>a[j]&&f[i]1
) f[i]=f[j]+1
; 
for (int i=1;i<=n;i++)
if (resultf[i];
printf("%d
",result);
return0;
}

o(nlogn)的優秀演算法：如果想優化上面的演算法，基於貪心的思想，我們很容易想到：當x,y∈[1,i-1]時，若f[x]=f[y]，a[x]

所以在f[x]一定的情況下，盡量選擇更小的a[x]。

按f[x]=k來分類，我們需要記錄的當所有等於k的f[x]中，最小的a[x]。我們宣告乙個low[k]來儲存這個最小的a[x]。

這樣說可能會有點亂，簡單說吧，就是宣告乙個low[k]，儲存在[1,i-1]之間，已知的最長上公升子串行長度為k的最小的a[x]值。（還是感覺比較複雜，將就理解一下吧）

low[k]=min,f[x]=k；

可以歸納出low[k]的幾個性質：

①low[x]單調遞減增，即low[1]＜low[2]＜low[3]＜low[4]＜……＜low[n-1]＜low[n];

②隨著處理時間推進，low[x]只會越來越小;

如果不能理解，可以嘗試自己寫個數列模擬看看。

有了這兩個性質，就可以這樣求解：

宣告當前已求出的最長上公升子串行的長度為len（初始時為1），當讀入乙個新元素x：

①若x>low[len]，則直接把x加入到d的末尾，且len+＝1；

②否則，在low[x]中二分查詢，找到第乙個比x小的數low[k]，並low[k+1]=x，在這裡x<=g[k+1]一定成立。

易證時間複雜度為o(nlogn)。

**中的二分查詢我用stl的lower_bound函式代替了，但是不開o2會慢挺多吧……手寫二分應該會快，蒟蒻我太懶了orz

#include #include 
using
namespace
std;
const
int maxn=100000
;int n,len=1
;int a[maxn+5],low[maxn+5
];int
main()
printf("%d
",len);
}

三. 最長公共子串行問題（lcs）注意，這次是最長公共子串行（lcs）。lcs就是指給定兩個數列，兩個數列中最長的公共子串行（哇我在說什麼廢話）。

舉個例子好了，比如下面兩個長度分別為6的子串行：

1 4 9 10 2 6

2 1 10 2 13 6

上面兩個子串行，它們的lcs就是長度為4的序列： 1 10 2 6 。和lis一樣，子串行是不需要連續的。

為了解決這個問題，我們可以嘗試這樣思考：

首先，記給定的兩個序列為s和t，依舊是根據動態規劃分段求解的思想。

定義f[i][j]為序列 s1…si 和序列 t1…tj 對應的lcs的長度。

那麼f[i+1][j+1]有三種情況：

① si+1=ti+1時，在序列 s1…si 和序列 t1…tj 對應的lcs後面追加si+1（si+1=ti+1）；

② 繼承序列 s1…si 和序列 t1…tj+1 對應的lcs；

③ 繼承序列 s1…si+1 和序列 t1…tj 對應的lcs；

f[i][j]為上面三種情況中最大的乙個。所以可以寫出遞推式：

這個遞推式可以在o(n2)的時間內被計算出來，f[n][n]是lcs的長度。

動態規劃幾類例題的筆記

動態規劃例題

《動態規劃》 ACM 動態規劃例題詳解

動態規劃及其動態規劃經典例題

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