單位脈衝響應\(h(n)\)是反映系統\(t[\cdot]\)特性的乙個序列.不同的系統,單位脈衝響應不同.
單位脈衝響應就是系統輸入乙個單位脈衝訊號之後的輸出.
對於乙個線性時不變系統而言,系統的輸出可以看作是單位脈衝響應和輸入訊號的卷積\(y(n)=h(n)*x(n)\).
系統的輸入輸出之間滿足線性疊加性原理的系統稱為線性系統,也就是滿足下式
\[有乙個系統t[\cdot]\\
若y_1(n)=t[a_1x_1(n)],y_2(n)=t[a_2x_2(n)]\\
那麼t[a_1x_1(n)+a_2x_2(n)]=y_1(n)+y_2(n)
\]例題
\[例1:
證明y(n)=x(n)+b是線性系統\\
y_1(a_1x_1(n))=a_1x_1(n)+b\\
y_2(a_2x_2(n))=a_2x_2(n)+b\\
y_1(a_1x_1(n))+y_2(a_2x_2(n))=a_1x_1(n)+a_2x_2(n)+2b\\
t[a_1x_1(n)+a_2x_2(n)]=a_1x_1(n)+a_2x_2(n)+b\\
t[a_1x_1(n)+a_2x_2(n)]\neq y_1(n)+y_2(n)\\
所以他不是線性系統\\
例2:證明y(n)=nx(n)是線性系統\\
y_1(a_1x_1(n))=na_1x_1(n)\\
y_2(a_2x_2(n))=na_2x_2(n)\\
y_1(a_1x_1(n))+y_2(a_2x_2(n))=na_1x_1(n)+na_2x_2(n)\\
t[na_1x_1(n)+na_2x_2(n)]=na_1x_1(n)+na_2x_2(n)\\
t[a_1x_1(n)+a_2x_2(n)]\neq y_1(n)+y_2(n)\\
所以他是線性系統
\]系統對於輸入輸出訊號的運算關係在整個系統中不隨時間變化,也就是滿足以下式子
\[有乙個系統t[\cdot]\\
若y(n)=t[x(n)]\\
則y(n-n_0)=t[x(n-n_0)]
\]例題
\[例1:證明y(n)=x(n)+b是時不變系統\\
y(n-n_0)=x(n-n_0)+b\\
t[x(n-n_0)]=x(n-n_0)+b\\
y(n-n_0)=t[x(n-n_0)]\\
所以系統是時不變系統
\]求序列卷積的公式如下
\[y(n)=x_1(n)*x_2(n)=\sum_^x_1(m)\cdot x_2(n-m)
\]卷積符合交換律,結合律,分配律,如下
\[x_1(n)*x_2(n)=x_2(n)*x_1(n)\\
(x_1(n)*x_2(n))*x_3(n)=x_1(n)*(x_2(x)*x_3(n))\\
x_1(n)*(x_2(n)+x_3(n))=x_1(n)*x_2(n)+x_1(n)*x_3(n)
\]系統的輸出不發生在輸入之前,比如如下系統有因果性
\[y(n)=ax(n)+b\\
y(n)=ax(n-1)+b
\]如下系統的輸出比輸入超前,不具有因果性
\[y(n)=ax(n+1)+b
\]線性時不變系統有因果性的充分必要條件
\[單位脈衝響應滿足\\
當n<0時,h(n)=0
\]系統有界輸入系統產生的輸出也是有界的.
線性時不變系統具有穩定性的充分必要條件是系統的單位脈衝響應絕對可和,即
\[\sum_^|h(n)| < \infty
\]
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