最短路演算法總結

1.floyd演算法（n^3複雜度）

基本思想：開始設集合s的初始狀態為空，然後依次將0,1，。。n-1定點加入，同時用d[i][j]儲存從i到j，僅經過s中的定點的最短路徑，在初始時刻，d[i][j] = a[i][j]中間不經過任何節點，然後依次向s中插入節點，並進行如下更新

d(k)[i][j] = min

還可以使用乙個二維陣列path指示最短路徑。

path[i][j]給出從定點i到j的最短路徑上，定點i的前乙個頂點

**相當簡單，最容易的實現方法：

for (k = 0;k < n;k++)
for (i = 0;i < n;i++)
for (j = 0;j < n;j++)
}

view code

然後可以通過遞迴得出路徑的。。

2.dijstra演算法

單源最短路問題，先加入源，維持一張表來儲存此時到源中的最短距離，選取最小的加入，然後更新表，不斷的加入直到目的地在源中。僅適用於正邊權的時侯，因為這時我們可以保證任意加入的點已經找到了源到該點的距離。

3.bellman-ford演算法

最優性原理

最優性原理介紹及簡單證明見：

它是最優性原理的直接應用，演算法基於以下事實：

如果最短路存在，則每個頂點最多經過一次，因此不超過n-1條邊；

長度為k的路由長度為k-1的路加一條邊得到；

由最優性原理，只需依次考慮長度為1，2，…，k-1的最短路。

適用條件&範圍

單源最短路徑(從源點s到其它所有頂點v);

有向圖&無向圖(無向圖可以看作(u,v),(v,u)同屬於邊集e的有向圖);

邊權可正可負(如有負權迴路輸出錯誤提示);

差分約束系統（需要首先構造約束圖，構造不等式時》=表示求最小值,作為最長路，<=表示求最大值,作為最短路。<=構圖時,有負環說明無解；求不出最短路（為inf）為任意解。>=構圖時類似）。

演算法描述

1）對每條邊進行|v|-1次relax操作;

2）如果存在(u,v)∈e使得dis[u]+w

for i:=1 to |v|-1
do//
進行|v|-1次鬆弛得最短距離
for 每條邊(u,v)∈e do
relax(u,v,w);
for每條邊(u,v)∈e 
do//
判斷是否存在負權環
if dis[u]+w
then exit(false)

view code

演算法時間複雜度o(ve)。因為演算法簡單，適用範圍又廣，雖然複雜度稍高，仍不失為乙個很實用的演算法。

改進和優化如果迴圈n-1次以前已經發現不存在緊邊則可以立即終止；

4.spfa演算法

spfa(shortest path faster algorithm)是bellman-ford演算法的一種佇列實現，減少了不必要的冗餘計算。它可以在o(ke)的時間複雜度內求出源點到其他所有點的最短路徑，可以處理負邊。

演算法流程

spfa對bellman-ford演算法優化的關鍵之處在於意識到：只有那些在前一遍鬆弛中改變了距離估計值的點，才可能引起他們的鄰接點的距離估計值的改變。因此，演算法大致流程是用乙個佇列來進行維護，即用乙個先進先出的佇列來存放被成功鬆弛的頂點。初始時，源點s入隊。當佇列不為空時，取出隊首頂點，對它的鄰接點進行鬆弛。如果某個鄰接點鬆弛成功，且該鄰接點不在佇列中，則將其入隊。經過有限次的鬆弛操作後，佇列將為空，演算法結束。spfa演算法的實現，需要用到乙個先進先出的佇列 queue 和乙個指示頂點是否在佇列中的標記陣列mark。為了方便查詢某個頂點的鄰接點，圖採用臨界表儲存。

procedure spfa;
begin
initialize-single-source(g,s);
initialize-queue(q);
enqueue(q,s);
while not empty(q) do
begin
u:=dequeue(q);
for each v∈adj[u] do
begin
tmp:=d[v];
relax(u,v);
if (tmp<>d[v]) and (not v in
q) then enqueue(q,v);
end;
end;
end;

view code

注意：spfa演算法只有在不存在負權環的情況下可以正常的結束，如果存在負權環，那麼將總有頂點在入隊和出隊往返，佇列無法為空，這種情況下spfa無法正常結束。可以通過新增乙個變數表示每個頂點進入佇列的次數，如果大於|v|那麼就可以說明存在負權環

最短路演算法總結

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