換言之，楊輝三角。
由其可發現3個性質：
1） \(\binom=\binom\)
2） \(\sum\limits_^n \binom=2^n\)
3） 楊輝三角的項 \(\binom\) 的值代表從最上的點到這一項的路徑數。
設 \(n\) 是正整數，對所有的 \(x\) 和 \(y\) 有 \((x+y)^n=\sum\limits_^n \binom x^ky^\)
在 \(y=1\) 時有特殊情形 ： \((1+x)^n=\sum\limits_^n \binom x^k\) ，也為常用公式。
1）\(k\binom=n\binom\)
將式子用定義開啟即可證。
2）\(\binom+\binom+\binom+...+\binom=2^n\)
令 \(x=1,y=1\) ，代入二項式定理即可證。（也可組合推理）
3）交錯和 \(\binom-\binom+\binom-\binom+...+(-1)^n\binom=0\)
也可寫成 \(\binom+\binom+...=\binom+\binom+...=2^\)
令 \(x=1,y=-1\) ，代入二項式定理即可證。（也可組合推理）
4）\(1\binom+2\binom+...+n\binom=n2^\)
利用 \(k\binom=n\binom\) ，左式可寫成 \(n\binom+n\binom+...+n\binom=n2^\)。
5）利用連續求導及關於 \(x\) 的乘法得到 \(\sum\limits_^n k^p\binom\) 關於正整數 \(p\) 的恒等式
由 \((1+x)^n=\sum\limits_^n \binom x^k\)
兩邊對 \(x\) 求導 ： \(n(1+x)^=\sum\limits_^n \binom kx^\)
(令 \(x=1\) 可得 ： \(n2^=\sum\limits_^n k\binom=\sum\limits_^n k\binom\) )
兩邊同乘 \(x\) 得 ： \(nx(1+x)^=\sum\limits_^n \binom kx^k\)
兩邊對 \(x\) 求導 ： \(n((1+x)^+x(n-1)(1+x)^)=\sum\limits_^n \binom k^2x^\)
(令 \(x=1\) 可得 ： \(n(n+1)2^=\sum\limits_^n k^2\binom=\sum\limits_^n k^2\binom\) )
6）範德蒙卷積公式 \(\sum\limits_^n \binom\binom=\binom\)
特殊形式 \(\sum\limits_^n \binom^2=\binom\)
利用組合推理證明：
設 \(s\) 為擁有 \(m1+m2\) 個元素的集合，則 \(\binom\) 計數的是 \(s\) 的 \(n\) 元子集的數目。
把 \(s\) 劃分為 \(a,b\) 兩個子集，其中 \(|a|=m1,|b|=m2\)。
考慮每個 \(s\) 的 \(n\) 元子集，其包含 \(k\) 個 \(a\) 元素和 \(n-k\) 個 \(b\) 元素，\(k\) 為 \(0\) 到 \(n\) 之間的整數。
則 \(s\) 的 \(n\) 元子集可根據 \(k\) 的大小劃分為 \(n+1\) 個部分，而每部分的大小為 \(\binom\binom\)
由加法原理可得，\(\sum\limits_^n \binom\binom=\binom\)
\(\binom\) ，\(r\in r,k\in z\)
\[\begin
\binom=
\begin
\frac& k \leq 1\\
1& k=0\\
0& k\leq -1
\end
\end
\]公式 \(\binom=\binom+\binom\) 與 \(k\binom=r\binom\) 仍成立。
可由帕斯卡公式遞推得到兩個求和公式：
1）\(\binom+\binom+..\binom=\binom\)
在左式首加 \(\binom\) 即可證。
2）\(\binom+\binom+..\binom=\binom\)
在左式首加 \(\binom\) 即可證。
二項式係數序列 \(\binom,\binom,...,\binom\) 為單峰序列，最大者為 \(\binom=\binom\)
符號太難打了，略……
幾個匯出式在生成函式中很重要。
設(\(x,\leq\)) 為有限偏序集，設 \(r\) 為鏈的最大大小。則 \(x\) 可被劃分成 \(r\) 條反鏈，不可劃分成小於 \(r\) 條反鏈。
設(\(x,\leq\)) 為有限偏序集，設 \(m\) 為反鏈的最大大小。則 \(x\) 可被劃分成 \(m\) 條鏈，不可劃分成小於 \(m\) 條鏈。
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