先放結果展示：
海浪的模擬，可以理解為一堆任意方向的正弦波的疊加，這些正弦波的頻譜（相位和振幅）會隨著時間而變化。
\[h(\overrightarrow x, t) = \sum_ \tilde h (\overrightarrow k, t) e^
\]\[\begin
其中：&l_m, l_n為整個m*n個網格的邊長 \\
\overrightarrow k &= (k_x, k_z) \\
k_x &= \frac, -\frac \leq m < \frac \\
k_z &= \frac, -\frac \leq n < \frac \\
\overrightarrow x &= \left( \frac, \frac \right) \\
& 0 \leq x < m \\
& 0 \leq y < n \\
\end
\]這裡需要說明下，這個式子和標準2d idft長得不太一樣：
\[x(x, y) = \frac \sum_^\sum_^ x(m, n) e^ + \frac)}
\]這是因為：
\(\overrightarrow k \cdot \overrightarrow x\)的結果就是$ 2\pi (\frac + \frac) $這裡和公式是一樣的
求和的範圍不一樣，標準公式是從0-m、0-n，而這裡是\(-\frac \leq m < \frac\)和\(-\frac \leq n < \frac\)這裡推導下
\[設\overrightarrow k = \left( \frac, \frac \right); 0\leq m < m, 0\leq n < n
\]\[\begin
h(x, y, t)
&= \frac \sum_^ \sum_^ \tilde h(m,n,t) \exp\left( j \overrightarrow k \cdot \overrightarrow x \right) \\
&= \frac \sum_^ \sum_^ \tilde h(m,n,t) \exp\left( j \frac + j \frac \right) \\
&= \frac \sum_^ \sum_^ \tilde h(m,n,t) \exp\left( j2\pi \left( \frac + j \frac \right) \right) \exp \\
&= (-1)^ \frac \sum_^ \sum_^ \tilde h(m,n,t) \exp\left( j2\pi \left( \frac + j \frac \right) \right) \\
\end
\]最後相當於是在標準的ifft上面乘了乙個\((-1)^\)，之前程式沒有這麼寫，直覺上l的引數總是不太對，l比較大的時候，海浪應該比較密集，l比較小的時候，比較平緩，改成這樣就符合直覺了。
我們有了從海浪頻域轉到海浪時域的工具，那麼海浪的頻域是怎麼來的呢？通過海洋統計學，可以得到海浪的頻譜隨著時間變化的函式：
\[\tilde h(\overrightarrow k, t) =
\tilde(\overrightarrow k) e^} +
\tilde(-\overrightarrow k) e^}
\begin
其中：&l為整個n*n個網格的邊長 \\
&k_x = \frac, -\frac \leq m < \frac\\
&k_z = \frac, -\frac \leq n < \frac\\
&\overrightarrow k = (k_x, k_z)\\
&k = |\overrightarrow k| \\
\\另外：
&\tilde(\overrightarrow k) = \frac (\xi_r + \xi_i) \sqrt \\
&p_h(\overrightarrow k) = a\frac}} |\overrightarrow k \cdot \overrightarrow \omega| ^ 2 \\
\overrightarrow \omega:&風向 \\
v:&風速 \\
\end
\]可以看到，這個函式巨複雜無比，不過好在我們也是可以讓它跑在gpu上的。
得到了波浪的頻譜，就可以動手開始實現了，hlsl實現如下：
#pragma kernel generatespectrum
#pragma kernel ifft2x
#pragma kernel ifft2y
static const uint fft_stages = 8;
static const uint fft_dimension = 1 << fft_stages;
static const uint fft_butterflys = fft_dimension >> 1;
static const float pi = 3.14159265;
groupshared float2 pingpongarray[fft_dimension * 2];
uint reversebits(uint index, uint count)
float2 complexmultiply(float2 a, float2 b)
void butterflyonce(float2 input0, float2 input1, float2 twiddlefactor, out float2 output0, out float2 output1)
float2 euler(float theta)
texture2dsrctex;
rwtexture2ddsttex;
void ifft2(uint2 id, bool horizontal)
else
uint2 offset = uint2(0, fft_dimension);
[unroll]
for (uint s = 1; s <= fft_stages; s++) else else
} }}[numthreads(fft_butterflys, 1, 1)]
void ifft2x(uint3 id : sv_dispatchthreadid)
[numthreads(1, fft_butterflys, 1)]
void ifft2y(uint3 id : sv_dispatchthreadid)
const static float g = 9.8;
float pow2(float x)
float pow4(float x)
float2 h0(float2 k_v, float k, float2 w, float v, float2 xi, float sqrta)
float _time;
float _sqrtamplitude;
float2 _winddirection;
float _windspeed;
float _patchlength;
texture2dtwinrandomgaussiantexinput;
rwtexture2dspectrumoutput;
rwtexture2dgradientspectrumoutput0;
rwtexture2dgradientspectrumoutput1;
[numthreads(4,4,1)]
void generatespectrum(uint3 id : sv_dispatchthreadid)
原本是想利用hammersley sequence做gpu上的隨機數生成，但是這樣發現還是出現了一些重複的pattern，於是還是放在cpu端去做。
生成phillips spectrum可以抽出時間引數t，預計算一部分（generatespectrumstepone），減少每幀需要做的計算量。
tessendorf, j., 2001. simulating ocean waters. in siggraph course notes (course 47), acm siggraph
fynn-jorin flügge, realtime gpgpu fft ocean water simulation
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