演算法錄之二分和三分

二分：

二分不是二分，是二分。就是一分為二的二分。

先來乙個例子：

現在有乙個遞增的序列 a(1), a(2)...a(n)，然後讓你查詢 x 在不在這個序列裡面？

顯然最簡單的做法就是乙個for迴圈，從1到n，看看有沒和x相等的。。。

這樣確實不錯，但是太慢了。。。需要n次才能找到。有沒更好的做法呢？

有（要是沒有的話我說這個幹什麼），那就是二分查詢了。

首先判斷 a(n/2) 和 x 誰大誰小，如果 x 大的話，那麼顯然x可能在 a(n/2+1) 到 a(n) 這個範圍裡面，而一定不會在 a(1) 到 a(n/2) 這個範圍裡面，因為遞增嘛。。。然後再按同樣的方法遞迴查詢後半個區間就行了。

如果x小的話同理找前半個區間。

這樣每次把區間變成原來的一半，那麼就是 logn 級別的時間複雜度，對於長度 n=100000 的序列，只需要不到20次就能判斷x了。。。

具體**如下：

// 查詢a陣列是否存在x。
bool find(int a,int n,int x)
if(a[l]==x) return 1;
return 0;
}

遞增

double calc(double n)

double solve(double l, double r, double v)

return r;}遞減

double calc(double n)

double solve(double l, double r, double v)

return r;

}通俗的說，其實二分是針對乙個單調函式，在這個函式的乙個區間中查詢，每次取區間的中點去判斷，然後根據大小把區間變成原來的一半。。。然後一直這樣下去就好。

二分的應用可以說是很廣很廣。

有乙個典型的應用，就是最大值最小化問題，這類問題一般是要求乙個方案讓所有的數裡面最大的那個最小，然後求這個最小數是多少。

如果是直接硬解的話一般會很困難。所以需要轉換思路。

用二分來試一下。如果先給出乙個上限m之後，要求所有數都不大於m，然後如果存在一種方案的話，說明最後的答案一定比這個數要小於等於，所以二分下去一次次逼近答案就ok了。

題目的話 uva 714 就是經典的二分+貪心問題。

三分：如果說二分針對的是單調函式，那麼三分針對的是雙調函式。也就是下面這樣的函式。

三分是求這樣先增後減或者是先減後增的函式的極值的。

具體步驟就是：對於區間（l，r），先求出 1/3 處的 m1 和 2/3 處的 m2，然後比較 m1 和 m2 處的大小，如果 m1 處的值大於 m2 處的值，那麼極值一定在（m1，r）這個區間範圍內，否則一定在（l，m2）這個範圍內。

因為如果 m1處大於m2處的話，m1不可能在極值點的右邊。。。所以。。。就是這樣了。。。每次變成原來區間的2/3大小。。。

二分三分的用處很廣很廣，比如對乙個符合的序列，或者是在計算幾何中用來求一些不好算的值等等。。。

比如求點到橢圓的最近距離的題目，就可以通過三分一次次的逼近。

const double eps = 1e-10;

double calc(double n)

double solve(double l, double r)

return l;

}

演算法錄 之 二分和三分