用於在 \(a\) , \(b\) 已知的情況下求出一組 \(x\) , \(y\) 的任意解滿足:ax+by=c
根據裴蜀定理，此方程有解的充要條件為 \(gcd(a,b)|c\)
於是我們可以將ax+by=c簡化為ax+by=gcd(a,b)前面方程的解不過是後面方程的解擴大整數倍。
\[\\
ax+by=gcd(a,b)
\\gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)
\\可以得出：bx'+(a\%b)∗y'=gcd(b,a\%b)
\\又因為:a\%b = a-\lfloor \frac\rfloor *b
\\所以：a*y'+b*(x'-\lfloor \frac \rfloor*y') = gcd(a,b)
\\所以原方程中的一組任意解為：
\begin
x=y' \\
y=x'-\lfloor \frac \rfloor *y'
\end
\]遞迴求解即可
inline void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)//其實這個時候y可以為任意數。(因為y前的係數b=0)
exgcd(b,a%b,x,y);
int z=x;x=y,y=z-y*(a/b);
return;
}
用擴充套件歐幾里得求逆元的前提是 \(a,m\) 互質
原方程可以化簡為：
\(a*inv[a] + my = 1\)
因為 \(a,m\) 互質，所以原式可以變為：
\(a*inv[a] + my = gcd(a,m)\)
就是上面的式子。
注意，此時求出的逆元很有可能為負，需要 (x+m)%m 強制變為正。
為什麼此時求出的就是逆元呢？
移項一下：
\(a*inv[a] = 1-my\)
即 \(a*inv[a] = 1(mod \ m)\)
得證。求解形如
\[\begin
x \equiv a_1 (mod \ m_1) \\
x \equiv a_2 (mod \ m_2) \\
x \equiv a_3 (mod \ m_3) \\
... \\
... \\
x \equiv a_k (mod \ m_k) \\
\end
\]其中 \(m_i\) 互質，求出最小的滿足上述條件的 \(x\)
令乙個 \(m=\prod _ ^ m_i \ \ m_i=\frac\)
\(t_i\) 為 \(m_i\) 在 \(mod \ m_i\) 意義下的逆元，即\(m_i*t_i\equiv1(mod \ m_i)\)
所以 \(m_i\) 與 \(m_i\) 也互質。
那麼：乙個解 \(ans = \sigma_^ (a_i*m_i*t_i)\)
證明：對於任意的 \(j \neq i\)
\(m_i | m_j\) 所以 \(a_j*m_j*t_j =0(mod \ m_i)\)
而因為 \(m_i*t_i \equiv 1(mod \ m_i)\)
所以 \(a_i*m_i*t_i=a_i(mod \ m_i)\)
對於任意的 \(i\) 上述證明都是成立的，由此當前得到的解 \(ans\) 是滿足上面的式子的。
而最小解則為 \(ans \ \% \ m\)
(上面有很多步，不同步的模數是不同的，比如 \(t_i\) 是 \(m_i\) 在 \(mod \ m_i\) 意義下的逆元，而最後需要 \(\%\) 的是 \(m\))
inline void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
exgcd(b,a%b,x,y);
ll z=x;x=y,y=z-y*(a/b);
return;
}int n;
ll a[n],m[n],m[n],mul=1,inv[n],tmp,ans;
int main()
print(ans%mul);
return 0;
}
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