注：博主數論學得比較菜，只會生搬，大家只當參考看看就好。
同余是數論中乙個基本概念，它基本概念與記號都是偉大的數學家高斯引進的．它的引人簡化了數論中的許多問題，本文只是總結一點基本的定理而已。
定義 1 :給定一正整數 $ m $ （模數），若用 m 去除兩個整數 $ a $ 和 $ b $ 所得餘數相同，則稱 $ a $ 與 $ b $ 對模 $ m $ 同餘，記作 $ a \equiv b \mod (m) $ ；若餘數不同，則稱 $ a $ 與 $ b $ 對模 $ m $ 不同餘，記作 $ a \ne b \mod(m) $ 。
定義 2：若 $ m | ( a - b ) $ ，則稱 $ a $ 與 $ b $ 對模 $ m $ 同餘。
定義 3：若 $ a = km + b $ ，則稱 $ a $ 與 $ b $ 對模 $ m $ 同餘．顯然， $ a \equiv 0\mod (m) $ 等價於 $ m|a $ 。
由同餘的定義，可得下列性質 ：
自反性：$ a≡a \mod (m) $ 。
對稱性：若 $ a≡b\mod (m) $ ，則 $ b≡a \mod (m) $ 。
傳遞性：若 $ a≡b\mod (m) $ ， $ b≡c\mod (m) $ ，則 $ a≡c\mod (m) $ 。
同余式相加：若 $ a≡b\mod (m) $ ， $ c≡d\mod (m) $ ，則 $ ac≡bd\mod (m) $ 。
同余式相乘：若 $ a≡b\mod (m) $ ， $ c≡d\mod (m) $ ，則 $ ac≡bd\mod (m) $ 。
推論：若 $ a≡b\mod (m) $ 則有 $ an≡dn\mod (m) \quad n\in $ 。
線性運算：如果 $ a ≡ b \mod (m) $ ， $ c ≡ d \mod (m) $ ，那麼有：
$ (1): $ $ a ± c ≡ b ± d \mod (m) $ ；
$ (2): $ $ a \times c ≡ b \times d \mod (m) $ 。
模數的除法：若 $ ac = bc\mod (m) $ ， $ （m，c)=d $ ，則 $ a\equiv b\mod (m / d) $ ；
特別地，當 $ (m，c)=1 $ 時，有 $ a=b\mod (m) $ 。
模數的乘法：若 $ a=b\mod (m) $ ，則有 $ ak=bk\mod(mk) $ ，其中 $ k $ 為大於零的整數；
推論：若 $ a\equiv b(modm) $ ， $ d $ 為 $ a $ , $ b $ 及 $ m $ 的任一正公約數， 則 $ a /d = b /d\mod(m/d) $ 。
傳遞性2：若 $ a\equiv b\mod (m) $ ，則有 $ a\equiv b \mod (i\times m) \quad i\in $ 。
傳遞性3：若 $ a\equiv b\mod (m) $ ，且 $ d|m $ ,則 $ a=b\mod (d ) $ 。
同餘證一些特殊數的整除特徵：
例：乙個正整數 a 能被 9 整除的特徵是 a 的各個數字上數字之和能被 9 整除．應用：棄九法（高效判斷兩數之積是否等於第三個數）（同理還可證 7 11 與 13 也有類似特徵）。
同餘運算性質
100除以7的餘數是2，意思就是說把100個東西七個七個分成一組的話最後還剩2個。餘數有乙個嚴格的定義 假如被除數是a，除數是b 假設它們均為正整數 那麼我們總能夠找到乙個小於b的自然數r和乙個整數m，使得a bm r。這個r就是a除以b的餘數，m被稱作商。我們經常用mod來表示取餘，a除以b餘r就...
同餘及其性質
把數論裡的一些零散的知識總結一下 a模b，即a除以b的餘數，記做 a mod b 或 a b 同餘，用符號 表示，若a m b m則稱a與b關於m同餘，記做 a b mod m 本文中，a與b的最大公約數記為 a,b 最小公倍數記為 a,b a能整除b記為a b 性質1 a a mod m 反身性 ...
同餘定理性質
性質1 a a mod m 反身性 這個性質很顯然.因為a a 0 m 0。性質2 若a b mod m 那麼b a mod m 對稱性 性質3 若a b mod m b c mod m 那麼a c mod m 傳遞性 性質4 若a b mod m c d mod m 那麼a c b d mod m...