我曾經把所有的三角函式公式寫在一篇文章中，還自己編了一些口訣，每天來背誦，可是自從停止背誦的第二天，我就忘得乾乾淨淨了。或許是我的記憶力差罷。
所以我想嘗試通過一些偏推導向，不過又不全是推導的東西來幫助自己的記憶。
可以想起，三角函式可以在單位圓上得到乙個很直觀的體現。取圓上的一點與原點連線，其與數軸可以包圍出乙個三角形，對於這個三角形，有三個量，即\(x\),\(y\),\(r\).
將這三個量以上下各乙個元素的分式的形式進行排列組合，再減去上下相同的無意義項，易得得出的集合裡有\(3^2-3=6\)個元素。將這一過程用圖表的方式表達出來如下：
分子\分母xy
rx\(\emptyset\)
cotcos
ytan
\(\emptyset\)
sinr
seccsc
\(\emptyset\)
在上表中，位於同一條左低右高斜線上的項互餘，即分子分母互為相反。根據恒等式\(x^2+y^2=r^2\)，可以求出所有的函式關係。
一般的形式為\(sin(\pm x\pm \frac2 \pi),n=0,1,\cdots\)，其中函式也可替換為\(cos\)及\(tan\).雖然這樣的普遍形式看起來很複雜，不過還是可以所有的情況都看作下面的四種情況的前後疊加：
操作幾何意義
函式內容取反
圓上該點關於x軸取對稱
函式內容\(\pm 2 \pi\)
圓上該點環繞一周
函式內容\(\pm \pi\)
圓上該點關於原點對稱
函式內容取反並加上\(\frac\)
圓上該點移動，使得包圍出原來的角的餘角
因為已知公式是普適的，所以我們在特殊情況下的驗證可以推廣到所有情況上。假設原來的點落在第一象限內，根據上述四種操作的幾何意義，可以求得每一種原子操作對最後結果所造成的影響。最後，將公式表達為這四種操作的前後疊加，並將哪些影響也前後疊加，即可得到結果。
所謂的和差公式群，是指和差公式本身，以及根據之較容易推導出的一系列公式，包括倍角公式，半形公式，積化和差公式，和和差化積公式。
\[r_1(\cos\theta_1 + i \sin\theta_1)\cdot r_1(\cos\theta_2 + i \sin\theta_2) = r_1r_2[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)]
\]定義兩個複數分別為：
\[\begin
z_1 = \cos x + i \sin x\\
z_2 = \cos y + i \cos y
\end
\]用兩種不同的方式計算兩者的乘積，構建乙個等式，則其實部和虛部分別對應相等。
\[z_1\cdot z_2 = \cos(x+y) + i \sin(x+y)\\
z_1\cdot z_2 = (\cos x+i\sin x)(\cos y+i\sin y)=(\cos x\cos y-\sin x +\sin y) + i(\cos x\sin y + \cos y \sin x)\\
\rightarrow \\
\begin
\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y\\
\sin(x+y) = \cos x \sin y + \cos y \sin x
\end
\]當和轉變為差，很顯然的，右側式子中的正負號也會發生轉變，但是其他部分將保持不變。
當和差公式中的和的兩個算數相同時，就得到了倍角公式。具體形式如下：
\[\sin 2x = 2 \sin x \cos y\\
\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2 \sin^2 x = -1 + 2 \cos ^2 x
\]使用其中的第二條等式，很容易地可以求得如下等式：
\[\sin^2 x = \sqrt}\\
\cos^2 x = \sqrt}
\]注:上面兩組式子，不僅是倍角公式和半形公式，同時也是公升冪公式和降冪公式。
看看所有的可能的積化和差公式的輸入：
sincos
sin\(\sin \alpha\sin \beta\)
\(\sin \alpha\cos \beta\)
cos\(\cos \alpha\sin \beta\)
\(\cos \alpha\cos \beta\)
試圖去想想這些元素在和差公式的**出現過，以什麼形式出現。如果你的回憶足夠好，那麼就能夠很容易地快速寫出它們所對應的結果。
看看所有的可能的和差化積公示的輸入：
相加相減
sin\(\sin \alpha + \sin\beta\)
\(\sin \alpha - \sin\beta\)
cos\(\cos \alpha + \cos\beta\)
\(\cos \alpha - \cos\beta\)
對於這些輸入，我們並沒有那麼熟悉。不過我們還是可以試圖去想象通過積化和差公式的逆過程去得到結果。我們可以設定乙個對應使得：
\[\alpha \rightarrow p + q\\
\beta \rightarrow p - q
\]那麼，這些輸入將變得熟悉起來。然後，求出結果後，進行乙個反對應來恢復變數：
\[p \rightarrow\frac\\
q \rightarrow\frac
\]上訴描述中都可以忽略了對於\(\tan\)的討論，實際上是因為它沒有什麼好說的，通過\(\frac\)就可以獲得了。
\[\tan x = \frac = \frac\cos\frac}} = \frac}}
\]根據上式，可以作對應三角形如下：
據此影象，則很容易得到\(\sin\)及\(\cos\)的萬能公式。
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