\(\newcommand \d} \newcommand \f\newcommand \dxx}\)
討論廣義積分：
\[\f_1^ \frac} \d x,\f_1^ \frac} \d x
\]的收斂性與絕對收斂性。
當 \(\alpha \le 0\) 時，根據柯西收斂原理，廣義積分不收斂。
當 \(\alpha > 0\) 時，任取 \(1，有：
\[|\f^_\frac} \d x| = |-\frac|^_-a\f \frac} \d x|\\
\le \frac+\frac 1+a\f\frac 1} \d x =\frac 2
\]故存在滿足柯西收斂原理的 m，收斂。
當 a > 1 時，$\f^_\frac \d x <\f \frac 1 \d x $，絕對收斂。
當 $0 < a \le 1 $ 時，
\[\f_1^a \frac \d x \ge \f_1^a \frac \d x = \frac 12(\f_1^a\frac 1x \d x -\f_1^a \frac \d x)
\]後面收斂，前面收斂，故條件收斂。
判別 \(\f_0^1 \frac \d x\) 收斂性。
\(\f_0^1 \frac \d x=\f_0^\frac12 \frac \d x + \f_\frac 12^1 \frac \d x\)
前半段極限除以 \(x^\) = 0，而 \(x^\) 收斂，故前半段收斂。
後半段發散，與 （1-x)^-1 同階
求廣義積分 \(i = \f^b_a \frac} \d x\) 其中 b > a
因為 \(\frac+\frac = 1\) 並且兩項都 >= 0，所以令 \(\frac=\cos^2 t\)
\(i = \f_^0 \frac =\pi\)
這個積分和 a，b 取值無關。
\(\f_1^ \frac-1}}=\f_1^ \frac\d x}}}=-\f_^0 \frac 1}\d x=\arcsin \frac 1e\)
求 $\f^_0 \frac $ 的值。
$\f^_0 \frac =\f^_0 \frac +\f^_1 \frac $
\(\f_0^1 \frac=-\f_^1 \frac=\f^_1 \frac\)
\(\f^_0 \frac =\f^_0 \frac +\f^_1 \frac=\f_1^\frac \d x = \f_1^\frac \d x=\frac\)
求 \(\f^_0 \ln \sin x \d x\)
\[\f_0^ \ln \sin x \d x \\
=\f_0^ \ln 2\sin \frac x2\cos \frac x2 \d x \\
=\frac \pi2 \ln 2+\f_0^ \ln \sin \frac x2 \d x+\f_0^ \ln \cos \frac x2 \d x\\
=\frac \pi2 \ln 2+2\f_0^ \ln \sin x \d x+2\f_0^ \ln \cos x\d x\\
=\frac \pi2 \ln 2+2 i\\
\]所以 \(i = -\frac\pi2 \ln 2\)
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