求積性函式f字首和
考慮字首和為s,考慮另外乙個函式g
\(\sum_^n(f*g)(i)=\sum_^n\sum_f(d)g(\frac)=\sum_^ng(d)\sum_^\rfloor}f(i)=\sum_^ng(d)s(\lfloor\frac\rfloor)\)
於是對於乙個n,可以得到\(g(1)s(n)=\sum_^n(f*g)(i)-\sum_^ng(d)s(\lfloor\frac\rfloor)\),於是可以嘀咕求解
ll get_s_n(ll n)}\)
是若干個密閉的環,就是乙個軌道,交換操作
乘法即將原排列進行一次置換再進行第二次置換的置換
則置換群=大小為2^n,e=(1)(2)(3)...(n)
平面圖形
對n個元素用m種顏色染色,對應的置換群為s,在s下任意一種置換得到的相同方案只算一種
則本質不同的染色方案數為
\(\fracm^}\)
例:六個點排成一圈,用三種顏色染色
置換群為\(s=(1)(2)(3)(4)(5)(6),(1,2,3,4,5,6),(1,3,5)(2,4,6),(1,4)(2,5)(3,6),(1,5,3)(2,6,4),(1,6,5,4,3,2)\)
\(ans=\frac\)
對軌道染色
給定n個點排成一圈,每次可以用m種顏色染色,問方案數
考慮計算置換群中的每個置換的軌道數,由於每個置換的每個軌道的大小都是相同的,於是我們只要求出其中乙個軌道的大小就可以了
對於轉i次,考慮增量
0 i 2i 3i 4i 5i .... k(i-1) ki
考慮找到第乙個\(n|k_i\)的,\(k\)即為\(\frac\)
\(f(i)=gcd(n,i)\)
其實我們並不關係編號究竟是什麼,可以只考慮軌道大小和軌道數
有意義的邊的置換群為,求所有邊中選r條邊的方案數
0:\((1)^\)
90:\((4)^\)
180:\((2)^\)
270:懶得寫了
考慮burnside的本質,即每個軌道內的所有元素長得一樣
\(c(4k^2,r)\)
\(c(k^2,\frac)\)
\(c(2k^2,\frac)\)
如果4|r不滿足,則該情況答案直接為0,其他都正常
立體圖形
6個面,8個點,12條稜
旋轉 角度 數量 置換
不轉 01\((1)^6\)
面面 90,180,2703\((1)^2(4)^1,(1)^2(2)^2,(1)^2(4)^1\)
稜稜 1806\((2)^3\)
點點 120,2404\((3)^2,(3)^2\)
根據不同角度,可以確定角度
求迴圈節,可以確定置換
給定乙個立體圖形,如何求點數,邊數,稜數?
外角和公式 \(點數\times 外角=720度\)
外角就是乙個點周圍的角度的和再減去360
足球 由五邊形和六邊形構成
乙個點周圍有兩個六邊形,乙個五邊形
60個點,12個五邊形,20個六邊形,90個邊
於是分為五,六,稜,點,考慮即可
所有立體圖形一定滿足五邊形和五邊形對著...
一定相對!
對於乙個數列
對應的生成函式為
\(g(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3\)
無限?求斐波那契數列通項公式
考慮原序列的生成函式
\(f(x)=f_0+f_1x^1+f_2x^2+f_3x^3+...\)
\(xf(x)= f_0x^1+f_1x^2+f_2x^3\)
\((1-x)f(x)=x+x^2f(x)\)
\(f(x)=\frac\)
考慮輔助函式\(g\)
\(g(x)=1+kx+k^2x^2+k^3+x^3+...\)
\(g(x)=\frac\)
我們考慮將\(f\)的分母因式分解,將\(f\)變成了\(g\)的形式
\(f(x)=-\frac}\times \frac}x}+\frac}\times \frac}x}\)
於是現在我們考慮乙個\(f(n)\)
\(f(n)=-\frac}\times (\frac})^n+\frac}\times (\frac})^n\)
樸素解法
考慮乙個方程
\(c_0a_n+c_1a_+c_2a_+....+c_ka_=0\)
則它的乙個特徵多項式假設滿足
\(c(x)=x^k+c_1x^+c_2x^+...+c_k=0\)
於是我們列出了乙個關於\(x\)的方程,可以解出來乙個\(x\)(斐波那契就是\(x^2-x-1=0\),可以解出乙個\(x_1=\frac}, x_2=\frac}\))
當我們解出來\(x\)的時候就可以確定
對換
偶排列
奇排列
對換改變排列的奇偶性
在全部n階排列中,奇偶排列各佔一半(證:考慮每個奇排列將a1,a2交換一下就成了偶排列,一一對應的)
\(\sum_psgn(p)\pi_^na_\)
\(\sum_^na_(-1)^m_\)(對於任意i
• 行列互換，值不變。
• 用乙個數乘行列式的某行等於用這個數乘此行列式。
• 如果行列式中某一行是兩組數之和，則這個行列式等於兩個行列式之和，這兩個行列式分別以這兩組數為該行，而其餘各行與原行列式對應各行
相同。• 對換行列式中兩行的位置，行列式反號。
• 如果行列式中有兩行成比例，則行列式等於0。
• 把一行的某個倍數加到另一行，行列式的值不變。
於是我們可以高斯消元求解行列式,消成上三角的形式,答案即為對角線上的乘積
對於乙個n階矩陣a,存在乙個n階矩陣b使得\(ab=ba=i\)
則a是可可逆的,b是a的乙個逆矩陣
否則a是不可逆的
左逆矩陣和右逆矩陣一定是一樣的
det(a)把矩陣當成行列式計算
\(det(ab)=det(a)det(b)\)
a存在逆矩陣的充要條件:\(det(a)!=0\)
\((ab)^=b^a^\)
高斯消元三個操作
• 用乙個非零的數乘以某行
• 將某一行的
數學學習筆記 函式
1.函式是將乙個物件轉換為另外乙個物件的規則，例如f x x2 2.其中x的取值被稱為輸入，結果被稱為輸出 3.所有輸入來自稱為定義域的集合，所有輸出來自稱為上域的集合 4.假設現在有兩個函式f，g，這兩個函式的規則一樣，且函式g的定義域小於f的定義域 我們可以說函式g是由限制f的定義域產生的 5....
數學學習筆記 函式
函式是將乙個物件轉換為另外乙個物件的規則，例如f x x2 f x x 2 f x x 2，其中x的取值被稱為輸入，結果被稱為輸出。所有輸入來自稱為定義域的集合，所有輸出來自稱為上域的集合。假設現在有兩個函式f ff，g gg，這兩個函式的規則一樣，且函式g gg的定義域小於f ff的定義域，我們可...
《組合數學》學習筆記
p28 定理2.4.2 設s是多重集合，它有k種不同型別的物件，且每一種型別的有限重複數分別是n1 n2,n k n1,n2,nk 設s的大小為n n1 n 2 nk n n 1 n2 n k。則s的排列數目等於 x n n1 n2 n k x n n1 n2 nk p32 定理2.51 設s是有k...