最長公共子串行（LCS）

子問題的遞迴結構

由最長公共子串行問題的最優子結構性質可知，要找出

xm=和

yn=的最長公共子串行，可按如下方式遞迴的進行：

·當xm = yn時，找出xm-1和yn-1的最長公共子串行，然後在其尾部加上xm或yn，即可得到x和y的乙個最長公共子串行； ·

當xm≠yn時，必須解兩個子問題，即找出xm-1和y的乙個最長公共子串行及x和yn-1的乙個最長公共子串行。這兩個公共子串行中較長者即為x和y的乙個最長公共子串行。

由此遞迴結構容易看到最長公共子串行問題具有子問題重疊性質。例如，在計算x和y的最長公共子串行時，可能要計算出x和yn-1以及xm-1和y的最長公共子串行。而這兩個子問題都包含乙個公共子問題，即計算xm-1和yn-1的最長公共子串行。

與矩陣乘積最優計算次序問題類似，我們來建立子問題的最優值的遞迴關係。用c[i,j]記錄序列xi和yj的最長公共子串行的長度，其中xi=，yj=。當i = 0或j = 0時，空序列是xi和yj的最長公共子串行，故c[i,j] = 0。其他情況下，可得遞迴關係如下所示：

由演算法lcs_length計算得到的陣列b 可用於快速構造序列x=和y=的最長公共子串行。首先從b[m,n]開始，沿著其中的箭頭所指的方向在陣列b中搜尋。

·當 b[i,j]中遇到"↖"時（意味著 xi=yi是lcs的乙個元素），表示 xi與 yj的最長公共子串行是由子串行xi-1與 yj-1的最長公共子串行在尾部加上xi得到的子串行；

·當 b[i,j]中遇到"↑" 時，表示 xi與 yj的最長公共的最長公共子串行和xi-1與 yj的最長公共子串行相同；

·當b[i,j]中遇到"←" 時，表示xi與yj的最長公共子串行和xi與yj-1的最長公共子串行相同；

我來說明下此圖（參考演算法導論）。在序列x=和 y=上，由lcs_length計算出的表c和b。第i行和第j列中的方塊包含了c[i，j]的值以及指向b[i，j]的箭頭。在c[7,6]的項4，表的右下角為x和y的乙個lcs的長度。對於i，j>0，項c[i，j]僅依賴於是否有xi=yi，及項c[i-1，j]和c[i，j-1]的值，這幾個項都在c[i，j]之前計算。為了重構乙個lcs的元素，從右下角開始跟蹤b[i，j]的箭頭即可，這條路徑標示為陰影，這條路徑上的每乙個「↖」對應於乙個使xi=yi為乙個lcs的成員的項（高亮標

兩重迴圈方法

使用兩重迴圈進行字串的對齊匹配過程如下圖所示：

第一重迴圈確定第乙個字串的對齊位置，第二重迴圈確定第二個字串的對齊位置，每次迴圈確定一組兩個字串的對齊位置，並從此對齊位置開始匹配兩個字串的最長子串，如果匹配到的最長子串比已知的（由前面的匹配過程找到的）最長子串長，則更新已知最長子串的內容。兩重迴圈的實現演算法如下：

圖（1）兩重迴圈字串對齊匹配示意圖

#include#include#define max(a,b) (a>b?a:b)
char s1[1010],s2[1010];
int dp[1010][1010];
int main()
else
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);}}
printf("%d\n",dp[len1][len2]);
}}

最長公共子串行（LCS）

LCS 最長公共子串行

LCS最長公共子串行

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LCS 最長公共子串行

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