1. 定義若
ab=n
(a>0且
a≠1)
，則稱b 為以a為底
n 的對數，記作
logna=
b，a 叫做對數的底數，
n叫做真數。
注意：①
a 的取值範圍
②表示底數、指數、冪的關係的三種形式
e.g. 底數為2，指數為5，冪為32的三種表示：
a. 25=
32（底數+指數
→ 冪）
b. log322
=5（底數+冪
→ 指數）
c. 32−−
√5=2
（指數+冪
→ 底數）
一般地，我們記
logn
10 為
logn
或者lgn
，記logn
e 為lnn
。2. 基本性質①
n>0
②log1a=
0 證明：設x=
log1a
∴ax=
1 ∵a
≠1 ∴
x=0
∴log1a
=0
③logaa
=1證明：設x=
logaa
∴ax=
a ∵a
≠1 ∴
x=1
∴log
aa=1
⑤alogna=
n 證明：設x=
logna
∴ax=
n 將x
=logna
代入ax
=n， 得a
logna=
n ，證畢。
④logax
a=x
證明：設n=
ax ∴
logna=
x ∴l
ogax
a=x
3. 運算性質若
a>0，
a≠1，
m>0，
n>
0 ，則
①logm×
na=logma
+logna
證明： 設m
=logma
，n=logna
∴am=m,a
n=n
∴am+
n=m×
n ∴logm×
na=m
+n=logma
+logna
②logmn
a=logma−
logna
證明： 設m
=logma
，n=logna
∴am=m,a
n=n
∴mn=
aman
=am−
n ∴l
ogmn
a=m−
n=logma−
logna
③log(mn
)a=n
×log
ma證明：
logmna
=log
m∗m.
..∗m
a=nl
ogma
④換底公式：
lognm=
logm
alogna
證明：設n=
logn
a ，m=
logma
∴an=
n,am
=m ∴
n=an
=am×
nm=(
am)n
m=mn
m ∴lognm
=nm=
logn
alog
ma
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