整除的定義：
若整數a除以非零整數b，商為整數，且餘數為零， 我們就說a能被b整除（或說b能整除a），即b∣a,讀作「b整除a」或「a能被b整除」。a叫做b的倍數，b叫做a的約數（或因數）。
整除的基本性質及證明：
①若a|b，a|c，則a|(b±c)。
證明：因為a|b和a|c，所以∃q1,q2∈z，使得b=q1*a c=q2*a，可推出b±c=q1*a±q2*a=(q1±q2)*a。又因為q1,q2∈z，所以(q1±q2)∈z，所以a|(b±c)。
②若a|b，則對任意c(c≠0)，a|bc。
證明：因為a|b，所以∃q∈z，使得b=q*a，推出b*c=q*a*c=q*c*a，又因為c≠0，所以q*c∈z，所以a|bc。
③對任意非零整數a，±a|a=±1。
④若a|b，b|a，則|a|=|b|。
⑤a|b,a|c⇔∀x,y∈z ,a|(b×x+c×y)
證明：⑥如果a同時被b與c整除，並且b與c互質，那麼a一定能被積bc整除，反過來也成立。
⑦若m≠0,則a|b⇔(m⋅a)|(m⋅b)若m≠0, 則a|b⇔(m·a)|(m·b)
⑧x,y∈z,且∃a,b 使ax+by=1,a|n,b|n⇒(a⋅b)|nx,y∈z, 且∃a,b使ax+by=1,a|n,b|n⇒(a·b)|n
證明：
由a|n,b|n ⇒ ab|bn,ab|an(依據性質⑦) ⇒ ab|(anx+bny)(依據性質⑤) ⇒ ab|(ax+by)n ⇒ ab|n（依據定義）
能被2整除的數：個位上為2的倍數
能被4整除的數：個位和十位所組成的兩位數能被4整除
能被8整除的數：百位、個位、十位所組成的三位數能被8整除（注意順序）
能被5整除的數：個位上為5的倍數
能被25整除的數：十位和個位所組成的兩位數能被25整除
能被125整除的數：百位、十位、個位所組成的數能被125整除
能被3整除的數：各個數字上的數字和能被3整除
能被9整除的數：各個數字上的數字和能被9整除
能被11整除的數：奇數字（從左往右數）上的數字和與偶數字上的數字和的差的絕對值能被11整除
能被7整除的數：把個位數字截去，從餘下的數中，減去個位數的2倍，如果差是7的倍數，則原數能被7整除，如果不好判斷就遞迴處理
能被13整除的數：把個位數字截去，從餘下的數中，加上個位數的4倍，如果和是13的倍數，則原數能被13整除
能被17整除的數：把個位數字截去，從餘下的數中，加上個位數的5倍，如果和是17的倍數，則原數能被17整除，或把後三位截去，剩下的數與3倍後三位差的絕對值如果能被17整除，則原數能被17整除
能被19整除的數：把個位數字截去，從餘下的數中，加上個位數的2倍，如果和是19的倍數，則原數能被19整除，或把後三位截去，剩下的數與7倍後三位的差的絕對值如果能被19整除，則原數能被19整除
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