線性代數提供了被稱為逆矩陣（matrix inversion）的強大工具。對於大多數矩陣a，我們都能通過矩陣逆解析地求解式ax
=b。為了描述矩陣逆，首先需要定義單位矩陣（identity matrix）的概念。任意向量和單位矩陣相乘，都不會改變。我們將保持
n 維向量不變的單位矩陣記作in
。形式上，in
∈rn×
n ， ∀x
∈rn,
inx=
x(8.20)
單位矩陣的結構很簡單：
1. 它是「正方形」（行數與列數相同）
2. 所有沿主對角線的元素都是1，而所有其他位置的元素都是0 ⎡⎣
⎢100
0100
01⎤⎦
⎥ 矩陣a
的逆矩陣（matrix inversion）記作a−
1，其定義的矩陣滿足如下條件： a−
1a=i
n(8.21)
其實矩陣的逆矩陣跟倒數的性質一樣，不過只是我們習慣用a−
1 表示。而倒數可以表示成1/
x 或者x−
1 的形式，而不能把
a 的逆矩陣寫成1/
a的形式，其主要原因是矩陣不能被除。
為了理解矩陣的逆，其和倒數還有其他相似之處：
以二維矩陣為例，其逆矩陣求解公式如下： [a
cbd]
−1=1
ad−b
c[d−
c−ba
] 換句話說：交換a和b的位置，將負數置於b和c的前面，並將所有元素除以行列式（ad-bc）。由於0不能為除數，因此判斷乙個矩陣是否為逆的要條件就是行列式是否為0。矩陣的行列式計為det（determinatnt的縮寫），其意義就是決定因子，即決定逆矩陣是否存在。 de
t[ac
bd]≠
0⇔[a
cbd]
−1例題：
利用逆矩陣的概念逆推，即將矩陣乘以逆矩陣，最終求得單位矩陣。
矩陣中沒有被除的概念，而矩陣的逆，可以解決「矩陣除法」的問題。假如我們沒有「除法」規則，那麼解決「把10個蘋果分給兩個人」的問題，可以採取2的倒數（12
=0.5
）來計算，那麼答案就是10×
0.5=
5 ，也就是每個人5個蘋果。
我們也可以利用以上方法，已知矩陣
a 和矩陣
b，求解矩陣
x 。即xa
=b。最好的方法是直接除以
a ，得到x=
b/a，但事實上我們不能直接除以
a 。但我們可以在公式兩邊都乘以a−
1。即xa
a−1=
ba−1
。 因為a
a−1=
i ，所以就得到xi
=ba−
1 。而此時單位矩陣
i 可以直接去掉，於是求得x=
ba−1
。因此通過a−
1 ，就可以直接計算出矩陣
x 。
例題：我們嘗試用矩陣思維來解答，首先設定好矩陣（注意矩陣的行和列是否正確）：有乙個幾個家庭組團出去旅行，出發的時候是乘坐大巴，每位兒童3元，每個大人3.2元，一共花費了118.4元。在回程時，他們選擇乘坐火車，每名兒童3.5元，每名**3.6元，總計135.20元。求解有多少兒童和大人？
然後求解
a的逆矩陣：
根據公式x=
ba−1
，求解x 。
根據求解所得，一共有
16個兒童和
22
a 的逆矩陣。雖然這個過程是由計算機完成，但我們還是有必要去了解公式，因為這正是數學的美妙之處。
對角矩陣和單位矩陣
對角矩陣 diagonal matrix 是乙個主對角線之外的元素皆為0的矩陣。單位矩陣是對角線上元素全為1的對角矩陣。對角矩陣 diagonal matrix 是乙個主對角線之外的元素皆為0的矩陣，常寫為diag a1，a2,an 對角矩陣可以認為是矩陣中最簡單的一種，值得一提的是 對角線上的元素...
2 3 單位矩陣和轉置矩陣
宣告 該文章翻譯自mit出版的 deep learning 博主會定期更新文章內容。由於博主能力有限，中間有過錯之處希望大家給予批評指正，一起學習交流。線性代數提供了乙個強有力的工具 矩陣求逆，可以解決等式 ax b。為了描述矩陣逆，我們首先需要定義單位矩陣的概念。當我們用單位矩陣乘以其它矩陣時，它...
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實驗8 problem a 產生單位矩陣 description 單位矩陣是乙個主對角線全為1，其他元素全為0的方陣。例如3階的單位矩陣是 1 0 0 0 1 0 0 0 1 編寫乙個程式能產生n階的單位矩陣。input 輸入為多行，每行乙個整數n n 1000 至eof結束。output 對每個輸...