考慮最基本的矩陣乘法公式： b=
ax(1) 將a
按列分塊為a=
，並將x
按行分塊為x=
t，則(1
) 式可表示為： b=
(α1α
2...
αn)⎛
⎝⎜⎜⎜
x1x2
...x
n⎞⎠⎟
⎟⎟=x
1α1+
x2α2
+...
+xnα
n(2) 由
(2) 式可以看出，
b 為列向量a=
的線性組合。若將
視為空間中的一組基，則b=
t 表示向量x=
t （該座標定義在空間基本正交基上，即
e （單位矩陣））在基a=
下的向量，其座標數值為其在基
e 下的座標。
上面的語言可能不是很好理解。這裡舉乙個二維空間中的例子，設點
x 在基
e 下的座標為x=
t ；並對x=
t 執行運算b=
ax，其中a=
2√2(
−11−
1−1)
，可得運算結果如下圖所示：
其中紅色箭頭為單位矩陣
e 對應的基，在該基下，向量
x 的座標為(1
,2) ；現在，將基
e 轉變為基
a （圖中藍色箭頭代表基
a ），此時向量
x 在基
a 下的座標仍為(1
,2) ，我們用符號
b 來表示這個向量，可以看到向量
b 由1個2√
2(−1
,1) 和2個2√
2(−1
,−1)
線性疊加而成。
不嚴謹地說，如果沒有原始的基的參照，向量是無法「感覺」到基的變化的，
x 在基
e 下的座標為(1
,2) ，而
b 在基
a 下的座標也為(1
,2) 。到現在為止我們還沒有討論運算b=
ax起到什麼作用，這個矩陣乘法其實起到了乙個「翻譯」功能。正式的說，它將
b 的在基
a 下的座標轉化為基
e 的座標。
打乙個比喻：小藍生活在基
a 下的世界，他看到的
x 座標為(1
,2) ，並且他認為自己所處的基為(1
001)
；而小紅生活在基
e 下的世界，並且她也認為自己所處的基為
\left(\begin 1&0\\ 0&1 \end\right)(1
001)
。兩個世界是相互隔離的。但某一天，某種神秘力量開啟了乙個蟲洞，兩個世界得以相互觀察。此時小紅發現小藍所處的世界的基相對於自己世界的基而言為
\begin\boldsymbol a =\frac \left(\begin-1 &-1 \\1&-1\end\right)\enda=
2√2(
−11−
1−1)
，而那個世界中的向量
\boldsymbol x
x 相對於自己世界的基而言為：
\begin \boldsymbol x' = \boldsymbol a \boldsymbol x=\frac \left(\begin-1 &-1 \\1&-1\end\right) \left(\begin1\\2\end\right) \end =\frac \left(\begin-3\\-1\end\right) x′
=ax=
2√2(
−11−
1−1)
(12)
=2√2
(−3−
1)此時小紅認為，自己看到的向量是
b ，但其實x 和
b 都是指同乙個向量，只是從不同基的世界中看到的表現不一樣而已。可以看出，矩陣乘法在這裡起到了同乙個向量基與基之間「翻譯」的作用。
這裡可以有一點造物主的感覺，畢竟我們可以知道小紅和小藍生活的世界的基的絕對座標，但小紅和小藍都認為他們生活的世界的基為(1
001)
（不知道筆者處的世界的基是什麼樣子，但起碼筆者認為是(1
001)
）。他們對彼此世界的評判，都是基於自身所在世界的基。上面我們討論了小紅看小藍世界的中向量
b 的座標，但是如果是小藍看小紅的呢？
小藍看小紅的世界，會發現小紅世界的基，相對於自己的世界，其座標為a−
1=[2
√2(−
11−1
−1)]
−1=2
√2(−
1−11
−1)
假設小紅的世界也有乙個向量
y ，而小紅認為該向量的座標為(−
32√2
,−2√
2)。此時小藍會認為該向量的座標為：y′
=a−1
y=2√
2(−1
−11−
1)⎛⎝
⎜⎜⎜−
32√2
−2√2
⎞⎠⎟⎟
⎟=(1
2)可以看出，矩陣及其逆為兩個不同基的世界相互觀察的結果。
感覺可以開乙個矩陣運算說明的專題，有空整理一下吧
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