回溯法加剪枝解決01揹包問題 C

01 揹包問題: knapsack 是解決如何將乙個揹包的價值最大劃的問題

輸入: c 揹包最大容量，w 物品的重量，v 物品的價值

輸出：bestv 最大的可放置在揹包內的物品價值總和，bestx 對應bestp的物品取法，即最優值和最優解

例如：輸入：c = 30, w = v = ,

則輸出：bestv = 50， bestx =

不難看出，這個問題屬於npc問題，不存在多項式複雜度的解法，通常我們會用動態規劃（dynamic programming）解，此處我們用回溯法。回溯法本質上是深度優先搜尋（dfs）。我們可以把所有的解決離散問題的演算法都看做在答案的乙個子空間進行搜尋的過程。而在knapsack問題中，這個子空間既是高度為n（n為物品數量）的二叉樹，因為對於每個物品我們有兩種選擇，選或者不選。

剪枝：剪枝的意思是在這個搜尋樹中，我們可以在進入某乙個節點之前大致估計一下可能的最好結果，如果最好結果沒有當前最好結果好，我們可以不進入這個節點，同時將該節點的子樹減掉。

執行結果：

剪枝

baoergutes-macbook-pro:desktop baoergute$ ./knapsack list: value 40 weight: 20 value per weight:2 value 25 weight: 15 value per weight:1.66667 value 25 weight: 15 value per weight:1.66667 after sorting: value 40 weight: 20 value per weight:2 value 25 weight: 15 value per weight:1.66667 value 25 weight: 15 value per weight:1.66667 b:56.6667 b:40 b:50 b:25 b:25 best value is: 50 node count is: 7 item with value: 25 weight: 15

item with value: 25 weight: 15

未剪枝

baoergutes-macbook-pro:desktop baoergute$ ./knapsack_org list: value 40 weight: 20 value per weight:2 value 25 weight: 15 value per weight:1.66667 value 25 weight: 15 value per weight:1.66667 best value is: 50 node count is: 11 item with value: 25 weight: 15

item with value: 25 weight: 15

值得一提的是，剪枝並不改變演算法複雜度，理論上來講，在最壞情況下剪枝也不能提公升實際的執行速度

// 未剪枝版本
#include #include #include #include using namespace std;
int c = 30; //揹包容量
const int n = 3; //物件數目
int w = ; //物件重量陣列
int v = ; //物件收益陣列
int cw = 0; //當前揹包重量
int cv = 0; //當前揹包價值
double bestv = 0; //迄今最大的收益
int node_count = 0; //當前遍歷過的節點數
int bestx[n]; //迄今最佳選擇
int x[n]; //當前選擇
void getbest (int i, vector> l) 
} return;
}// left child
if (cw + (l[i]).second <= c) 
// right child
x[i] = 0;
getbest(i + 1, l); 
}int main() 
cout << "list:" << endl;
for (vector>::iterator itr = value_weight_list.begin(); itr != value_weight_list.end(); itr++) 
cout << endl;
getbest(0, value_weight_list);
cout << "best value is: " << bestv << endl;
cout << "node count is: " << node_count << endl;
for (int i = 0; i < n; i++) 
}cout << endl; 
return 0;
}

// 剪枝版本
double bound(int i, vector> l) 
// 拆分
if (i < n) 
cout << "b:" << b << endl;
return b;
} 
void getbest (int i, vector> l) 
} return;
}// left child
if (cw + (l[i]).second <= c) 
// 判斷剪枝
if (bound(i+1, l) > bestv) 
}// 自定義比較運算子
bool mycomparator_dsc (paira, pairb) 
int main() 
cout << "list:" << endl;
for (vector>::iterator itr = value_weight_list.begin(); itr != value_weight_list.end(); itr++) 
cout << endl;
// sort the list
// 此處我們用了自定義的運算子，按照價效比降序排列
sort(value_weight_list.begin(), value_weight_list.end(), mycomparator_dsc);
// print the sorted list
cout << "after sorting:" << endl;
for (vector>::iterator itr = value_weight_list.begin(); itr != value_weight_list.end(); itr++) 
cout << endl;
getbest(0, value_weight_list);
cout << "best value is: " << bestv << endl;
cout << "node count is: " << node_count << endl;
for (int i = 0; i < n; i++) 
}cout << endl; 
return 0;
}

回溯法加剪枝解決01揹包問題 C

回溯法解決0 1揹包問題（c ）

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