因此最近複習時，著重思考和查詢了許多概念之間存在的聯絡，以及它們的內在意義和常見應用場景，總結在部落格的「線性代數」這一類別下。本文主要整理一些基本的公式和結論。
線性方程組：
行初等變換：倍加，（行）對換，倍乘。變換前後的矩陣行等價
若兩個方程組的增廣矩陣行等價，則具有相同的解集
矩陣ａ中主元的位置是ａ中對應於它的階梯行矩陣先導元素的位置（每列主元pivot的下方元素均為0，主元所在行的左側元素均為0）
線性方程組的解包括：基本變數（主元列對應的未知量）和自由變數（非主元列對應的未知量）
線性方程組ax=b解的存在與唯一性定理：（即方程組相容的充要條件）增廣矩陣的最右列不是主元列（即化簡後沒有形如：[0,0…0,b] 且b != 0的行）
若有解（相容），則：1.若無自由變數，有唯一解
2.若有自由變數，有無窮多解
span：表示有向量u,v及其線性組合構成的向量集合（包含0向量）
方程ax=b有解 <=> b是a中各列的線性組合。即矩陣a與向量x相乘，相當於以x中各元素值作為a的各個列向量的權重，對a的各個列向量作線性組合，得到向量b。若a為方陣，則(ax)的幾何意義是：利用矩陣a(m×m)對m維空間中的向量x做乙個變換，變換後x的投影為b，仍在m為空間，且變換實際上是對x的長度的方向做了改變。（其幾何意義對於理解特徵值和特徵向量很有幫助）
對於齊次線性方程組ax=0，均存在乙個解：向量0，稱作平凡解。當且僅當方程至少有乙個自有變數時（即a的列向量組線性相關時），它有非平凡解。即齊次線性方程組要麼僅有0解，要麼有無窮多解。在幾何意義上，含有非平凡解的齊次解相當於在空間中通過原點的乙個「平面」，這個「平面」恰由方程組的基礎解系（解集的極大線性無關組）的所有線性組合構成。對於非齊次線性方程組：ax=b，解集為ax=0的齊次解加上乙個特解，幾何上是不過原點的平面。
相容方程組的求解並把解集用引數向量表示，步驟如下：
1.把增廣矩陣行化簡為簡化階梯形矩陣
2.把每個基本變數用自有變數表示
3.把一般解x表示成向量，若有自由變數，其元素依賴自由變數
4.把x分解為向量的線性組合，組合係數為設定的常數，最終用自由變數作為引數
一組向量線性無關定義：若向量方程x1
v1+.
..+x
pvp=
0 x1v
1+..
.+xp
vp=0
僅有平凡解，則x中的各個（列）向量線性無關。若存在不為0的權值c1
...c
p c1.
..cp
滿足c1v1+
...+
cpvp=0c
1v1+
...+
cpvp
=0
，則它們線性相關。 r
n r
n中任意向量組，當p>n時線性相關。
若向量組包含0向量，則它們線性相關。
線性變換：
之前在理解方程組時，把矩陣a與向量x相乘看做是對a中各列向量的線性組合。除此之外，矩陣乘以向量，也就是對向量做乙個線性變換，還有著更加鮮明的幾何意義。（這種幾何意義可以直接應用在影象處理和圖形學中）
對於矩陣a(m×n)，ax=b相當於矩陣a對rnrn
空間中的向量x做乙個變換，對映到rmrm
空間中。由rnrn
到rm r
m的乙個變換（或稱對映、函式）t是乙個規則，將向量x對映為另一維度空間中的向量t(x)。集合rnrn
稱為定義域，rmrm
為取值空間（或余定義域），t(x)稱為x在t作用下的像，所有像t(x)的集合稱為t的值域。從x對映到ax即為乙個矩陣變換。若a為方陣，則對映後的向量b僅僅是原向量x在長度和方向上的改變（拉伸和旋轉）。
線性變換定義：保持向量的加法運算和標量乘法運算具有線性性的變換。
1 線性代數
本文借鑑至 轉置是矩陣的重要操作之一。矩陣的轉置是以對角線為軸的映象，這條從左上角到右下角的對角線被稱為主對角線。下圖顯示了這個操作。我們將矩陣 a的轉置表示為 a 定義如下 向量可以看作只有一列的矩陣。對應地，向量的轉置可以看作是只有一行的矩陣。有時，我們通過將向量元素作為行矩陣寫在文字行中，然後...
1 線性代數
本文借鑑至 轉置是矩陣的重要操作之一。矩陣的轉置是以對角線為軸的映象，這條從左上角到右下角的對角線被稱為主對角線。下圖顯示了這個操作。我們將矩陣 a的轉置表示為 a 定義如下 向量可以看作只有一列的矩陣。對應地，向量的轉置可以看作是只有一行的矩陣。有時，我們通過將向量元素作為行矩陣寫在文字行中，然後...
線性代數總結
因為課本是同濟五版的書，所以就按照這個來總結一下了。一 行列式 二 矩陣及其運算 三 矩陣的初等變換與線性方程組 四 向量的線性相關性 五 相似矩陣及二次型 一 行列式的簡單計算 1.行 列 成比例，行列式為0 2.行列式為化成上 下 三角的形式，行列式就等於對角線元素的乘積 3.a 代數余子式 及...