在生活中五子棋也是一種先手有必贏策略的遊戲，有人會說五子棋先手我也會輸啊，所以
博弈論問題都有個類似如「參與者足夠聰明」，「兩人都不犯錯"的前提。
在此前提下，討論幾種常見的博弈情形。
一、巴什博弈（bash game）
只有一堆n個物品，兩個人從輪流中取出（1~m）個；最後取光者勝。
考慮到 若n=m+1 那麼 第乙個人不論如何取都不能取勝。
進一步我們發現 若 n=k*(m+1)+r; 先取者拿走 r 個，那麼後者再拿（1~m）個
n=（k-1）*（m+1）+s； 先取者再拿走s 個 最後總能造成 剩下n=m+1 的局面。
因此，此時先手有必贏策略。
相對應的，若n=k*(m+1) 那麼先取者必輸。
因此我們可以寫出對應的程式（預設 n m都大於0）
1int bash_game(int n,int m)//
是否先手有必贏策略
2
到了這，不如嘗試一下當有n堆，每堆有mi>0個物品，依舊是兩個人來取該怎麼判斷？
先考慮取的最大數目無上限即可以把一堆全部取完的情形
二、尼姆博弈(nimm game)
正如上述.
從巴什博弈我們知道乙個當情形對應一種狀態,而由乙個狀態只能變為另一種狀態時能很輕易地判斷是否先手有必贏策略
那麼怎麼樣才能在尼姆博弈裡找到這樣的狀態呢?
如果把n堆抽象為n個非負整數,再將n個整數轉化為二進位制,然後對n個二進位制數按位相加(不進製),若每一位相加都為偶數,
那麼稱這個狀態為偶狀態,否則稱它為奇狀態.
可以證明:任何乙個偶狀態在其中乙個數變小後一定成為奇狀態,而乙個奇狀態一定可以通過改變乙個數變成偶狀態.
前一點很顯然,因為乙個數變小至少有一位發生改變,這一位就改變了原來的偶狀態.
對於後一點,對於乙個從高位到低位某一位和為奇的奇狀態,必定有乙個數的二進位制表示在此位為1,對於後面的較低位和為奇的情況,只要把這個數對應位取反即可得到乙個偶狀態.
到此,成功的構造了兩個可以轉換的狀態!!!
那麼對於n堆物品,只要判斷它是否是奇狀態就可以判斷是否先手有必贏策略.
但是求每個數的二進位制表示略顯麻煩,可以用更好的辦法,也是我偏愛的位運算.
xor 和判斷:
如果有奇數個二進位制數在第k位為1 那麼在這一位上的和為奇,同樣的，偶數個1和為偶.
很明顯位運算xor滿足我們的要求,偶數個1異或和為0,奇數個為1;
由此,終於可以給出演算法
1int nimm_game(int n)//
假設n個數存在陣列f中,有必勝策略返回1
2
但是我遇到過n非常大，且每一堆的物品數為連續的整數的情況
對此我們要考慮連續非負整數的異或和問題
記f(x, y) 為x到y的所有整數的異或值。
f[1,n]=f[0,n];
當n為2^k-1(2的k次方減一)時;
0 到 2^k-1 共2^k個數 等於∑c（n，i）
可以看做在k個位置中放入i個0，最後求和
同時可以看做在空格位置中放入i個1；最後求和
即在每一位上1個0的個數都相等，每個位上有2^(k-1)個1,當k>=2時 1的個數為偶數;
而我們已經知道偶數個1的異或和為0
所以 f[0, 2^k - 1] = 0 (k >= 2)
對 f[0, n] (n>=4) 設n的最高位1是在第k位(k >= 2)，
f[0, n] = f[0, 2^k - 1] xor f[2^k, n] = f[2^k, n]
對2^k到n這n+1-2^k個數，最高位(第k位)共有 m = n+1-2^k 個1,
2^k總是偶數,因此,當n為奇數時，m是偶數，f[0, n] = f[2^k, n] = f[0, n - 2^k]
當n為奇數(n - 2^k)總是奇數 ，所以：f[0,n] = f[0,n-2^k-2^(k-1)...-2^2](只到3是因為k>=2)
此時只剩下兩位是我們需要的 我們可以用（n & 3）很快得到後兩位
由於n是奇數 所以（n & 3）只可能得到 1 或 3；
1對應 二進位制數 （01）所以是奇數個1 此時f [0,n]=1;
3對應 二進位制數 （11） 此時f[0,n]=0;
當n為偶數時，m是奇數，因而 f[0, n] = f[2^k, n] = f[0, n - 2^k] xor 2^k
可得：f[0, n] = f(0, n & 3) xor 2^k xor n[k]*2^(k-1) xor ....n[2]*2^2 n[k] 為 n的二進位制數的第k位；
很明顯 當n為偶數時 f[0,n]的二進位制從最高位到第3位（如果不止3位） 跟n的二進位制數從高位到第三位 相同；
此時只需要 判斷 第二位
n & 3=0對應後二位為（00） 此時 f[0,n]=n;
n & 3=2對應後二位為（10） 此時 f[0,n]=n+1;
綜上所述：
n n % 4 == 0
f[1, n] = f[0, n] = 1 n % 4 == 1
n +1 n % 4 == 2
0 n % 4 == 3
f[x,y] = f[0,y] xor f[0,x-1] .(x>0)
對應的**在這
1//讀入n，表示有從物品數分別1到n的n堆物品，假設n個數存在陣列f中
2int xor_n(int n)//
從1到n的異或和38
int nimm_game(int n)//
有必勝策略返回1
9
三威佐夫博奕（wythoff game）：有兩堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆或同
時從兩堆中取同樣多的物品，規定每次至少取乙個，多者不限，最後取光者得勝。
這種情況下是頗為複雜的。我們用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，…,n)表示
兩堆物品的數量並稱其為局勢，如果甲面對（0，0），那麼甲已經輸了，這種局勢我們
稱為奇異局勢。前幾個奇異局勢是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，
10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。
可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出現過的最小自然數,而 bk= ak + k，奇異局勢有
如下三條性質：
1。任何自然數都包含在乙個且僅有乙個奇異局勢中。
由於ak是未在前面出現過的最小自然數，所以有ak > ak-1 ，而 bk= ak + k > ak
-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性質1。成立。
2。任意操作都可將奇異局勢變為非奇異局勢。
事實上，若只改變奇異局勢（ak，bk）的某乙個分量，那麼另乙個分量不可能在其
他奇異局勢中，所以必然是非奇異局勢。如果使（ak，bk）的兩個分量同時減少，則由
於其差不變，且不可能是其他奇異局勢的差，因此也是非奇異局勢。
3。採用適當的方法，可以將非奇異局勢變為奇異局勢。
假設面對的局勢是（a,b），若 b = a，則同時從兩堆中取走 a 個物體，就變為了
奇異局勢（0，0）；如果a = ak ，b > bk，那麼，取走b – bk個物體，即變為奇異局
勢；如果 a = ak ， b < bk ,則同時從兩堆中拿走 ak – ab – ak個物體,變為奇異局
勢（ ab – ak , ab – ak+ b – ak）；如果a > ak ，b= ak + k,則從第一堆中拿走多餘
的數量a – ak 即可；如果a < ak ，b= ak + k,分兩種情況，第一種，a=aj （j < k）
,從第二堆裡面拿走 b – bj 即可；第二種，a=bj （j < k）,從第二堆裡面拿走 b – a
j 即可。
從如上性質可知，兩個人如果都採用正確操作，那麼面對非奇異局勢，先拿者必勝
；反之，則後拿者取勝。
那麼任給乙個局勢（a，b），怎樣判斷它是不是奇異局勢呢？我們有如下公式：
ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，…,n 方括號表示取整函式)
奇妙的是其**現了**分割數（1+√5）/2 = 1。618…,因此,由ak，bk組成的矩形近
似為**矩形，由於2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[
j（1+√5）/2]，那麼a = aj，bj = aj + j，若不等於，那麼a = aj+1，bj+1 = aj+1
+ j + 1，若都不是，那麼就不是奇異局勢。然後再按照上述法則進行，一定會遇到奇異
局勢。對應的**在這裡：
1intt;
2if(a>b)38
double k=(sqrt(5.0)-1.0)/2.0;9
int j=a*k;
10if(a!=j*(int)(k+1
))11 j++;
12if(a+j==b)
13 cout<<0
奇異局勢，後手勝！
14else cout<<1
非奇異局勢，先手勝！
博弈論演算法
複習 兩個頂尖聰明的人在玩遊戲，有一堆n個石子，每次每個人能取 1,m 個石子，不能拿的人輸，請問先手與後手誰必敗？結論 通過上面的分析可以得出結論 當n能整除m 1時先手必敗，否則先手必勝。兩個頂尖聰明的人在玩遊戲，有nn堆石子，第ii堆有aiai個，每人每次能從一堆石子中取任意多個石子但不能不取...
博弈論 演算法
博弈論主要研究公式化了的激勵結構間的相互作用，是研究具有鬥爭或競爭性質現象的數學理論和方法。博弈論考慮遊戲中的個體的 行為和實際行為，並研究它們的優化策略。如囚徒困境 鏈結 在演算法競賽 現的博弈論題目通常是icg 公平組合遊戲 的，有如下特徵 1.有兩名選手。2.兩名選手交替操作，每次一步，每步都...
演算法 簡單博弈論
僅有一堆n個物品,兩個人輪流取1 m個,最後取的人勝 不能取的人輸 總體可分幾種情況 int bash game int n,int m 是否先手有必贏策略 將一堆變為多堆 即 有3堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆取任意多的物品，規定每次至少取1個，多者不限，最後取光者得勝。本部分含其他部落格內容...