目錄 濾波
傅利葉變換簡介
傅利葉變換的性質
快速傅利葉變換（fft）
一：濾波
濾波是將訊號中特定波段頻率濾除的操作，是抑制和防止干擾的一項重要措施。是根據觀察某一隨機過程的結果，對另一與之有關的隨機過程進行估計的概率理論與方法。
濾波分為經典濾波和現代濾波兩種。
經典濾波：
經典濾波的概念，是根據傅利葉分析和變換提出的乙個工程概念。根據高等數學理論，任何乙個滿足一定條件的訊號，都可以被看成是由無限個正弦波疊加而成。換句話說，就是工程訊號是不同頻率的正弦波線性疊加而成的，組成訊號的不同頻率的正弦波被叫做訊號的頻率成分或叫做諧波成分。
濾波器：
只允許一定頻率範圍內的訊號成分正常通過，而組織另一部分頻率成分通過的電路。叫做經典濾波器或濾波電路。實際上，任何乙個電子系統都具有自己的頻頻寬度（對訊號最高頻率的限制），頻率特性反映了電子系統的這個基本特點。而濾波器，則是根據電路引數對電路頻頻寬度的影響而設計出來的工程應用電路。
現代濾波
用模擬電子電路對模擬訊號進行濾波，其基本原理就是利用電路的頻率特性實現對訊號中頻率成分的選擇。根據頻率濾波時，是把訊號看成是由不同頻率正弦波疊加而成的模擬訊號，通過選擇不同的頻率成分來實現訊號濾波。
1、當允許訊號中較高頻率的成分通過濾波器時，這種濾波器叫做高通濾波器。
2、當允許訊號中較低頻率的成分通過濾波器時，這種濾波器叫做低通濾波器。
3、設低頻段的截止頻率為fp1,高頻段的截止頻率為fp2:
1)頻率在fp1與fp2之間的訊號能通過其它頻率的訊號被衰減的濾波器叫做帶通濾波器。
2)反之，頻率在fp1到fp2的範圍之間的被衰減，之外能通過的濾波器叫做帶阻濾波器。
理想濾波器的行為特性通常用幅度-頻率特性圖描述，也叫做濾波器電路的幅頻特性。
二：傅利葉變換
傅利葉變換是一種積分變換，就是一種從時間到頻率的變化。傅利葉原理表明：任何連續測量的時序或訊號，都可以表示為不同頻率的正弦波訊號的無限疊加。可以說，傅利葉變化將原來難以處理的時域訊號轉化成了易於分析的頻率訊號（訊號的頻譜）。
影象的頻率是表徵（知識在個體心理的反映和存在方式）影象中灰度變化劇烈的程度的指標，是灰度在平面空間上的梯度。影象中是一片灰度變化很緩慢的區域，對應的頻率值很低，反之亦然。
從純粹的數學意義上看，傅利葉變換是將乙個函式轉化為一系列週期函式來處理。從物理效果看，傅利葉變化是將影象從空間域轉換到頻率域，其逆變換是將影象從頻率轉換到空間域。換句話說，傅利葉變換的物理意義是將影象的灰度分布函式轉變為影象的頻率分布函式，傅利葉逆變化是將影象的頻率分布函式變換為灰度分布函式。
三：傅利葉變換的性質
**平移性質**
與乙個指數項相乘就相當於把其變換後的空域中心移動到新的位置
公式（2）表明對f(x,y)的平移不影響其傅利葉變換的幅值
分配率
上述公式表明：傅利葉變換對加法滿足分配律，但對乘法則不滿足
尺度變換（縮放）
給定兩個標量a和b，以下公式成立：
旋轉性
引入極座標x=rcosθ,y=rsinθ,u=ωcosφ,v=ωsinφ
將f(x,y)和f(u,v) 轉換為?(?,?)和?(?,?)。將他們帶入傅利葉變換對得到：
f(x,y)旋轉角度θ_0，f(u,v)也將旋轉相同角度
f(u,v)旋轉角度θ_0，f(x,y)也將旋轉相同角度
週期性和共軛對稱性
儘管f(u,v)對無窮多個u和v的值重複出現，但只需根據在任乙個週期裡的n個值就可以從f(u,v)得到f(x,y)
只需乙個週期裡的變換就可將f(u,v)在頻域裡完全確定
同樣的結論對f(x,y)在空域也成立
當兩個複數實部相等，虛部互為相反數時，這兩個複數叫做互為共軛複數。
如果f(x,y)是實函式，則它的傅利葉變換具有共軛對稱性
其中，f(u,v)為f(u,v)的復共軛。
對於一維變換f(u)，週期性是指f(u)的週期長度為m，對稱性是指圖譜關於原點對稱。
分離性——二維傅利葉變換的全過程
平均值
由二維傅利葉變換的定義
上式說明：如果f（x，y）是一幅影象，在原點的傅利葉變換即等於影象的平均灰度級。
卷積理論
大小為mxn的兩個函式f(x,y)和h(x,y)的離散卷積
所以卷積定理
相關性理論
大小為mxn的兩個函式f(x,y)和h(x,y)的相關性定義為
f表示f的復共軛。對於實函式， f＝f相關定理
自相關理論
*複數和它的共軛的乘積是複數模的平方
卷積和相關性理論總結
卷積是空間域過濾和頻率域過濾之間的紐帶
相關的重要應用在於匹配：確定是否有感興趣的物體區域
f(x,y)是原始影象
h(x,y)作為感興趣的物體或區域（模板）
如果匹配，兩個函式的相關值會在 h找到f中相應點的位置上 達到最大
四：快速傅利葉變換（fft）
只考慮一維的情況，根據傅利葉變換的分離性可知，二維傅利葉變換可由連續兩次的一維傅利葉變換得到
u的m個值中的每乙個都需進行m次複數乘法(將f(x)與 相乘)和m-1次加法，即複數乘法和加法的次數都正比於m2
快速傅利葉變換(fft)則只需要mlog2m次運算
fft演算法與原始變換演算法的計算量之比是log2m/m，m=1024≈103,則原始變換演算法需要106次計算，而fft需要104次計算，fft與原始變換演算法之比是1：100
快速傅利葉變換的特性-
1. 乙個m個點的變換，能夠通過將原始表示式分成兩個部分來計算。
2. 通過計算兩個（m/2）個點的變換。的feven(u)和fodd(u)
3. 奇部與偶部之和得到f（u）的前個值
4. 奇部與偶部之差得到f（u）的後（m/2）個值。且不需要額外的變換計算。
歸納快速傅利葉變換的思想
1.通過計算兩個單點的dft，來計算兩個點的dft
2.通過計算兩個雙點的dft，來計算四個點的dft，···，以此類推
3. 對於任何n=2m的dft的計算，通過計算兩個n/2點的dft，來計算n個點的dft
傅利葉變換與快速傅利葉變換
作為電子資訊專業的學生老說，這個不知道，或者理解不清楚，是十分不應該的，作為乙個學渣，有時候確實是理解不清楚的 1 首先離散傅利葉變換目的 簡單點說 就是將乙個訊號從時域變換到頻域 標準點說 將以時間為自變數的訊號 與 頻率為自變數的頻譜函式之間的某種關係變換 數學描述 對於 n點序列 其中自然對數...
傅利葉變換
1 為什麼要進行傅利葉變換，其物理意義是什麼？傅利葉變換是數字訊號處理領域一種很重要的演算法。要知道傅利葉變換演算法的意義，首先要了解傅利葉原理的意義。傅利葉原理表明 任何連續測量的時序或訊號，都可以表示為不同頻率的正弦波訊號的無限疊加。而根據該原理創立的傅利葉變換演算法利用直接測量到的原始訊號，以...
傅利葉變換
傅利葉變換 1 傅利葉變化公式 f u,v symsum symsum f x,y exp j 2 pi u x m v y n 2 根據公式所寫 這個 的時間複雜度為 o n 2 算一幅 512 512 的影象的時間大概是2個小時，沒有實際應用價值，應該要採用快速傅利葉變換。銳化空間濾波器 頻率濾...