傅利葉變換

傅利葉變換：傅利葉變換的作用是將乙個訊號由時域變換到頻域。其實就是把資料由橫座標時間、縱座標取樣值的波形圖格式，轉換為橫座標頻率、縱座標振幅(或相位)的頻譜格式。變換後可以很明顯地看出一些原先不易察覺的特徵。

離散傅利葉變換(dft)的演算法屬於線性變換。由於對每個取樣點，都要做一次全部點的加權求和的運算，因此當取樣點比較多時，運算速度會很慢。

快速傅利葉變換(fft)是dft的快速演算法，運算結果和dft是相等的。其原理是利用權值的對稱性與週期性，把取樣點分解成兩份，每份的點數是原來的一半，這樣運算量也會減半。然後可以繼續分解為4份、8份、16份……以此不斷提公升效率。

波形的公式：

取樣植(y)- 縱座標軸代表取樣點的值

時間(t)- 橫座標軸代表時間，或者代表當前是第幾個取樣點

振幅(a)- 也叫幅度，代表波的高度(峰值)

圓頻率(ω)- ω=2π*f，f代表頻率

相位(ω*t)- 是個角度，一般用弧度制表示，弧度制的0～2π，代表0度到360度

取樣點數量(n)- 取樣的資料是離散的，常常用散點來表示，下圖共有20個取樣點。

頻率(f)- 是單位時間內完成振動的次數，f=波的重複次數/n。

假如乙個波的圖形為：取樣點數量(n)=200，振幅(a)=3，頻率為10個波，即3*sin(2π*10/200)。

經過傅利葉變換後，可以看到在大約10的位置有一條豎線，由此很容易看出，頻率為10個波。由於變換的結果是個對稱圖形，因此在右邊200-10的對應位置也會出現一條豎線。變換後的資料，除了這兩條豎線以外，其它值的都近似為0，是個稀疏矩陣。

運算結果是複數，輸出值取複數的模(絕對值)。複數的模 = 實部的平方+虛部的平方,再開平方 = sqrt(real^2+imagine^2)

如果只為提取特徵的話，使用上面的輸出值就可以了。如果想得到標準的振幅和頻率值，那麼：

振幅= 輸出值/(n/2) = 300/(200/2) = 3

頻率= 波的重複次數/n = 10/200 = 0.05

matlab:

n = 200; % 取樣點數量

a = 3; % 振幅

fv = 10; % 波的重複次數

f = fv / 200; % 頻率

t = [1:200]; % 時間

y = a * sin(t*2*pi*f); % 生成波形取樣資料

plot(y); % 顯示時域圖

figure;

y = fft(y, n); % fft變換

plot(abs(y)); % 顯示頻域圖

fft是基於複數運算的，而實際取樣點的資料一般是實數，因此要轉換成複數形式。標準的做法是複數的實數部分為取樣點的實數資料，虛數部分全部填0。(但這樣做會有一定運算效率的問題，因為填0的部分也參與運算，對此也有一些優化演算法。