一、等額本息每期還款總金額計算公式
假設貸款總金額為a，月利率為β，貸款期數為k，每期需還款總金額（本金+利息）為x，則：
第一期還款後，欠款總金額 q1 = a * (1 + β) - x
第二期還款後，欠款總金額 q2 = q1 * (1 + β) - x = [a * (1 + β) - x] * (1 + β) - x
= a * (1 + β) ^ 2 - [1 + (1 + β)] * x
第三期還款後，欠款總金額 q3 = q2 * (1 + β) - x
= * (1 + β) - x
= a * (1 + β) ^ 3 - [(1 + β) ^ 2 + (1 + β) + 1] * x
由此可得出
第k期還款後， 欠款總金額 qk = qk-1 * (1 + β) - x = …
= a * (1 + β) ^ k - [(1 + β) ^ (k-1) + (1 + β) ^ (k-2) + … + 1] * x。
我們發現[ ]內是等比數列，等比數列求和公式是不是又忘記了？
我們一起來推導下。設y=1 + β，
則sk = 1 + y + y ^2 + … + y ^ (k-1)，y * sk = y + y ^2 + … + y ^ (k-1) + y ^ k，
兩公式相差得 y * sk - sk = y ^ k - 1，從而得出sk = (y ^ k - 1) / (y -1)。
由此繼續 qk = a * (1 + β) ^ k - * x，
第k期還款後貸款結束，因此qk = 0，即 a * (1 + β) ^ k - * x = 0，
得出等額本息每期還款本息總額 x = a * β * (1 + β) ^ k / [(1 + β) ^ k - 1]，
這便是每期需要還款的總金額。
二、等額本息每期還款本金計算公式等額本息每期還款總金額
x公式已經有了，那麼每期還款的本金是多少呢？假設第n期還款本金為pn，
則： 第一期需還本金 p1 = x - a * β
第二期需還本金 p2 = x - (a - p1) * β
= x - * β
= x - a * β + (x - a * β) * β
= p1 + p1 * β = p1 * (1 + β)
第三期需還本金 p3 = x - (a - p1 - p2) * β
= x - * β
= x - a * β + p1 * β + p1 * (1 + β) * β
= p1 * (1 + β) ^ 2
則可以猜測第n期需還本金 pn = p1 * (1 + β) ^ (n - 1)
下面我們來論證這個公式，假設公式成立，
則 p(n + 1) = x - [a - p1 - p2 - … -pn] * β
= x - * β
= x - * β
= x - a * β + p1 * [(1 + β) ^ n - 1] = p1 * (1 + β) ^ n
由此可以得出，等額本息還款中每期還款本金 pn = p1 * (1 + β) ^ (n - 1)
等額本息和等額本金計算
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