FPGA定點小數運算

謂定點小數，就是小數點的位置是固定的。我們是要用整數來表示定點小數，由於小數點的位置是固定的，所以就沒有必要儲存它（如果儲存了小數點的位置，那就是浮點數了）。既然沒有儲存小數點的位置，那麼計算機當然就不知道小數點的位置，所以這個小數點的位置是我們寫程式的人自己需要牢記的。

先以10進製為例。如果我們能夠計算12+34=46的話，當然也就能夠計算1.2+3.4 或者 0.12+0.34了。所以定點小數的加減法和整數的相同，並且和小數點的位置無關。乘法就不同了。 12*34=408，而1.2*3.4=4.08。這裡1.2的小數點在第1位之前，而4.08的小數點在第2位之前，小數點發生了移動。所以在做乘法的時候，需要對小數點的位置進行調整？！可是既然我們是做定點小數運算，那就說小數點的位置不能動！！怎麼解決這個矛盾呢，那就是捨棄最低位。也就說1.2*3.4=4.1，這樣我們就得到正確的定點運算的結果了。所以在做定點小數運算的時候不僅需要牢記小數點的位置，還需要記住表達定點小數的有效位數。上面這個例子中，有效位數為2，小數點之後有一位。

現在進入二進位制。我們的定點小數用16位二進位制表達，最高位是符號位，那麼有效位就是15位。小數點之後可以有0 - 15位。我們把小數點之後有n位叫做qn，例如小數點之後有12位叫做q12格式的定點小數，而q0就是我們所說的整數。

q12的正數的最大值是 0 111 . 111111111111，第乙個0是符號位，後面的數都是1，那麼這個數是十進位制的多少呢，很好運算，就是 0x7fff / 2^12 = 7.999755859375。對於qn格式的定點小數的表達的數值就它的整數值除以2^n。在計算機中還是以整數來運算，我們把它想象成實際所表達的值的時候，進行這個運算。

反過來把乙個實際所要表達的值x轉換qn型的定點小數的時候，就是x*2^n了。例如 0.2的q12型定點小數為：0.2*2^12 = 819.2，由於這個數要用整數儲存，所以是819 即 0x0333。因為捨棄了小數部分，所以0x0333不是精確的0.2，實際上它是819/2^12 =0.199951171875。

我們用數學表示式做一下總結：

x表示實際的數（*乙個浮點數）， q表示它的qn型定點小數（乙個整數）。

q = (int) (x * 2^n)

x = (float)q/2^n

由以上公式我們可以很快得出定點小數的+-*/演算法：
假設q1，q2，q3表達的值分別為x1，x2，x3
q3 = q1 + q2   若 x3 = x1 + x2
q3 = q1 - q2   若 x3 = x1 - x2
q3 = q1 * q2 / 2^n若 x3 = x1 * x2
q3 = q1 * 2^n / q2若 x3 = x1 / x2
我們看到加減法和一般的整數運算相同，而乘除法的時候，為了使得結果的小數點位不移動，對數值進行了移動。
用c語言來寫定點小數的乘法就是：
short q1,q2,q3;
....
q3=((long q1) * (long q2)) >> n;

由於/ 2^n和* 2^n可以簡單的用移位來計算，所以定點小數的運算比浮點小數要快得多。下面我們用乙個例子來驗證一下上面的公式：

用q12來計算2.1 * 2.2，先把2.1 2.2轉換為q12定點小數：

2.1 * 2^12 = 8601.6 = 8602

2.2 * 2^12 = 9011.2 = 9011

(8602 * 9011) >> 12 = 18923

18923的實際值是18923/2^12 = 4.619873046875 和實際的結果 4.62相差0.000126953125，對於一般的計算已經足夠精確了。

FPGA定點小數運算

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DSP 定點小數運算

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