快速冪演算法

顧名思義，快速冪就是快速算底數的n次冪。其時間複雜度為 o(log₂n)，與樸素的o(n)相比效率有了極大的提高。

其基本原理如下：

用 ab來做初步介紹：

我們首先把b轉換為二進位制數，則該二進位制的第i位權為2i-1

e.g. a11=(a2)0+(a2)1+(a2)3

而11的二進位制是1011

so：11=23*1+22*0+21*1+20*1

因此，我們有了以上的轉換：a11=(a2)0+(a2)1+(a2)3

幾點普及：

b & 1//取b二進位制的最低位，判斷和1是否相同，相同返回1，否則返回0，可用於判斷奇偶 b>>

1//把b的二進位制右移一位，即去掉其二進位制位的最低位

接下來我們用完整的**塊進行呈現

#include
#define ll long long
using namespace std;
void
quick_power
(int x,
int y)
cout<}int
main()

以上就是快速冪演算法的最基本常用的形式了，涉及二進位制位運算，也是屬於非遞迴版

接下來是取模快速冪演算法

這一部分就跟數論關係很大了。取模也是數論問題中經常出現的。那麼對於冪來取模，如果我們直接用模運算實際上是速度很慢的（因為試除法）。所以我們不妨在求快速冪的時候新增一些內容，從而得到結果。這個演算法需要了解一下數論的乙個定理：

(ab) mod c = ((a mod c)(b mod c)) mod c

那麼根據上面的定理可以推導出另乙個定理：

(a^b) mod c = (a mod c)^b mod c

具體的證明這裡不再贅述，主要是看第二個定理，恰好符合我們的小標題——快速冪取模。我們可以在求快速冪的時候，通過對底數取模的方式，不斷縮小底數的規模。那麼我們在上面快速冪的基礎上，新增取模，就可以完成整個操作。

ll qp
(ll a,ll b,ll c)
return ans;
}

如果能理解上面的快速冪演算法，那麼這個也會比較好理解了。定理裡面，底數是要有一次取模運算的。這裡我們在給base賦值的時候就執行了一次。那麼對於後面的一次取模，我們實際上利用了分配率，即：

(ab) mod c = ((a mod c)(b mod c)) mod c

我們求冪的本質仍然是求積。所以每次我們對base或者ans進行運算的時候，都必須使用一次分配率，所以都要mod c。